点，线，面的位置关系

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1、第十七节点，线，面的位置关系基础知识一、空间的直线与平面1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.(1)平面的表示方法：用平行四边形的顶点表示，如：平面ABCD，平面AC，用小写的希腊字母表示，如：平面，平面。(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l表示点A在直线l上；Aα表示点A不在平面α内；lα表示直线l在平面α内；aα表示直线a不在平面α内；l∩m=A表示直线l与直线m相交于A点；α∩l=A表示平面α与直线l交于A点；α∩β=l表示平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这

2、条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4同平行于一条直线的两条直线互相平行。3.等角定理及其推论定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.4.空间线面的位置关系平行—没有公共点共面(1)直线与直

3、线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面平行—没有公共点5.平行关系（1）.线面平行的判定定理：（线线平行线面平行）如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：．（2）线面平行的性质定理：（线面平行线线平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：．（3）.两个平面平行的判定定理：（线面平行面

4、面平行）如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：(4).推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。模式：(5).两个平面平行的性质（面面平行线面平行、线线平行）（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。6．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理：（线线垂直线面垂直）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式：(2)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线

5、同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。推理模式：(3)两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：(4)两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：典型例题例1.（1）.已知直线和平面，则下列命题正确的是()（2）．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C．D．（3）.设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：①；②;③;④.其中正确命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个例2.如

6、图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD＝AB＝1.（1）证明:;（2）证明:;（3）求三棱锥BPDC的体积V.例3.已知：正方体，，E为棱的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．B1A1C1BCAMN例4.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．针对性练习1.下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.下列命题错误的是（）A.平面和平面相交

7、，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合3.若直线a不平行于平面，且a内，则下列结论成立的是（）A.内的所有直线与a异面B.内不存在与a平行的直线C.内存在唯一的直线与a平行D.内的直线与a都相交4.下列命题中正确的个数是（）(1)若直线上有无数个点不在平面内，则//(2)若直线与平面平行，则与平面内任一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若//，则与平面内的任一条直线都