绘制与识别函数图象的策略

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1、绘制与识别函数图象的策略一、绘制函数图象的策略：1、变形（利用运算、方程、不等式的等价性）找到对应的“近亲函数”，根据函数的变换绘制函数的图象；2、根据函数的性质，绘制或补全函数的图象；3、利用导数和极限（简单的极限）：根据导数求出函数的单调区间和极值，利用极限思想分析函数的变化趋势；4、分析常见函数的增长率：，（），.二、绘制函数图象应用举例：例题1、（1）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C、向左平移3个单位

2、长度，再向下平移1个单位长度D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度分析：由，（变形帮助分析）令，，则：，故选答案；（2）已知函数，则的图象向左至少平移个单位后，图象关于轴对称；则的图象向右至少平移个单位后关于轴对称.分析：令，则由故将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标缩小到原来的倍，最后将所得图象再向下平移1个单位得到的图象；从图易得到将的图象向左至少平移个单位后，图象关于轴对称；将的图象向右至少平移个单位后，图象关于轴对称.例题2、（2014江苏卷）已知是定义在上且周期为的函数，当时，,若函数在区间上

3、有个零点（互不相同），则实数的取值范围为；分析：由的零点个数转化为两图象的交点个数.先作出函数的图象如图（5），根据函数的周期性，得到在上的图象（6），最后由的交点个数分析，可得当时，函数在区间上有个零点（互不相同）.例题3、2014年高考天津）已知函数，，若方程恰有4个互异的实根，则实数的取值范围为；分析：由方程恰有4个互异的实根等价于两图象有四个互异的公共点.（等价变形，灵活找到熟悉的函数，是解决问题的一关键）根据含绝对值的函数图象变换，作出的图象如图（1），再根据的图象在乘以后图象产生的变换：（I）若，如图（3）显然

4、不符合题意；（II）若：（i）当左半部分图象与中间部分相切时，是一种图象交点“临界状态”，由或（舍）故由图（2）可得，当可使得方程恰有4个互异的实根；（ii）当的图象右半部分与的靠右部分的图象相切如图（4）时，为另一种图象交点“临界状态”，由（舍）或根据与（）在和时的增长率可得到，当时两图象也有4个不同的交点，（也用到了极限思想）故时，方程恰有4个互异的实根.综合可得：若方程恰有4个互异的实根，则实数的取值范围为或.评析：本题中若没有极限思想和函数增长率帮助分析，极易丢失的情况.例题4、设，若有且仅有三个解，则实数的取值范

5、围是（）A．B．C．D．分析：将方程解的个数等价变为，图象交点个数.先得到该函数图的基本形状，为此令试探性作出函数的图如图（7），接着为了弄清变量对函数图象的影响，尝试定，作出此时的图象如图（8），从而得到对函数产生整体的平移；（I）当时，相当于函数在时的图象向上平移了绝对值个单位，如图（8）（9），显然满足有且仅有三个解的条件；（II）当时，相当于函数在时的图象向下平移了个单位，如图（11）是图象交点临界状态，此时；故可得，也符合有且仅有三个解图（7）图（8）图（9）图（10）图（11）图（12）综合可得，有且仅有三个解

6、时，的取值范围为.（特值试验，化陌生为熟悉）例题5、（1）（2014课标I卷）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．分析：方法一：（变量分离变形）由，令（由于得到，与一一对应，且同号），令（），令，故列表：0极小值极大值又，；，（极限思想）；图（14）图（13）故可作出函数图象如图（13）：由图（14）可知要使，与只有时的一个交点，则函数，若存在唯一的零点，且则，即的取值范围为（2）已知若方程有三个不同的根，则的取值范围为．图（15）分析：方程根的个数转化为直线与曲线交点的个数，故想到先利用导

7、数作出函数的图象.令故列表：0极小值极大值又当时，（因为在时，的值远远大于的值）当时，，故可作出的图如图（15）所示.由图可知当时，方程有三个不同的根.三、识别函数图象的策略：1、看函数定义域、值域2、看函数的性质（奇偶性、单调性、对称性、极值）；3、利用特殊点（给定值点、轴交点，具有区分度的取定点）；4、利用函数变换、复合函数性质的综合定性分析；5、变化趋势（极限、常见函数增长率）.四、识别函数图象应用举例：例题1、函数的图象的一部分大致如图所示，则的解析式是A．B．C．D．例题2、函数（A＞0，＞0）的一部分如图所示，

8、试写出一个符合要求的解析式．例题3、函数的图象大致是（）例题4、函数的图像大致为例题5、若函数，则的图像是例题6、函数的大致图象是例题7、函数的图象如图所示，则的符号是A.大于0B.小于0C.等于0D.小于或等于0例题8、已知函数的图象如右图所示,其中是函数的导数.下面四个图象中能表示的图象是（）五、函