第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值

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1、第2讲函数的单调性与最值一、选择题1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)内单调递减的函数是(  ).A.y=x2B.y=

2、x

3、+1C.y=-lg

4、x

5、D.y=2

6、x

7、解析 对于C中函数,当x>0时,y=-lgx,故为(0,+∞)上的减函数,且y=-lg

8、x

9、为偶函数.答案 C2.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(

10、x

11、)<f(1)的实数x的取值范围是(  )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析 ∵f(x)在R上为减函数且f(

12、x

13、)<f(1),∴

14、x

15、>1,解得x>1或x<

16、-1.答案 D3.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是(  )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析∵y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-<0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是(  ).A.(-∞,0]B.[0,1)C.[1,+∞)D.[-1,0]解析 g(x)=如图所示,其递减区间是[0,1).故选B.答案 B5.函数y=-x2+

17、2x-3(x<0)的单调增区间是(  )A.(0,+∞)B.(-∞,1]C.(-∞,0)D.(-∞,-1]解析 二次函数的对称轴为x=1,又因为二次项系数为负数,拋物线开口向下,对称轴在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0).答案 C6.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-

18、x

19、,当K=时,函数fK(x)的单调递增区间为(  ).A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)解析 f(x)=⇔f(x)=f(x)的图象如右图所示,因此f(x)的单调递增区

20、间为(-∞,-1).答案 C二、填空题7.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(a),则g(a)=________.解析 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1.当-2≤a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1.综上,g(a)=答案 8.函数y=-(x-3)

21、x

22、的递增区间是_______.解析y=-(x-3)

23、x

24、=作出该函数的图像,观察图像知递增区间为.答案9.已知函

25、数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是________.解析 ①当a=0时,f(x)=-12x+5在(-∞,3)上为减函数;②当a>0时,要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则对称轴x=必在x=3的右边,即≥3,故0<a≤;③当a<0时,不可能在区间(-∞,3)上恒为减函数.综合知:a的取值范围是.答案 10.已知函数f(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题:①函数f(x)的最小值是-1;②函数f(x)在R上是单调函数;③若f(x)>0在上恒成立,则a的取

26、值范围是a>1;④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f<.其中正确命题的序号是____________.解析 根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数,故②错误;若f(x)>0在上恒成立,则2a×-1>0,a>1,故③正确;由图象可知在(-∞,0)上对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f<成立,故④正确.答案 ①③④三、解答题11.求函数y=a1-x2(a>0且a≠1)的单调区间.解当a>1时,函数y=a1-x2在区间[0,+∞)上是减函数,在区间(-∞,0]上是增函数;当0

27、y=a1-x2在区间[0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0]上是减函数.12.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.解 (1)当a=0时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数;当a≠0时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)设x2>x1≥2,则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a],由x2>x1≥2,得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0.要

28、使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需f(x1)-f(x2)<0,即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,则a≤16.13.已知函数f(x)=a·2x+b·3

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