函数的单调性与最值(2)

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1、第2讲　函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1．利用函数的单调性求单调区间．2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握．　基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函

2、数；②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，

3、(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法

4、：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝1－(　　)．A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减答案　B2．若y＝(2k＋1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)．A．k＞B．k＜C．k＞－D．k＜－解析　由题意，知2k＋1＜0.∴k＜－.答案　D3．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是

5、减函数，那么(　　)．A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析　二次函数的对称轴为x＝－(a－1)，则－(a－1)≥1.即a≤－2.答案　C4．(2011·长春模拟)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)．A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－

6、x

7、解析　结合函数的图象可知C正确．答案　C5．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____________________________________________________________

8、___．答案　　　考向一　函数单调性的判断【例1】►判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[审题视点]可采用定义法或导数法判断．解　法一　设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0，＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；当x1＞x2≥时，x1－x2＞0，＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0

9、)在[，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0则1－＞0，∴x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，∴－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函

10、数单调性的证明，一般采用定义法进行．【训练1】试讨论函数f(x)＝(a＞0)的单调性．解　函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵f′(x)＝＝－，∵a＞0，∴f′(x)＜0.故函数f(x)在(