函数的单调性与最值2

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1、函数的单调性与最值考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域．2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值；或以最值为载体求参数的范围，并能解决实际生活中的一些优化问题.课题导入目标引领1、函数单调性的一般方法（定义法、导数法、图像法等）2、复合函数单调性原则3、抽象函数单调性上升的下降的独立自学完成状元之路课前知识梳理部分（5分钟）忆一忆知识要点增函数减函数用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜

2、x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论．引导探究一、定义法求函数单调性引导探究二、抽象函数单调性求法求下列函数的单调区间y＝－x2＋2

3、x

4、＋3；解析：(1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时

5、，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2

6、x

7、＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．引导探究三、图像法求函数单调性解析：(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．引导探究四、复合函数的单调性求法引导探究五、导数法求函数单调性目标升华求函数的单调区间与确定单调性的方

8、法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．02当堂诊学3若函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,有f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.证明:任取x1,x2∈R，且x1

9、2-x1)+x1]-f(x1)∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.=f(x2-x1)-1.∴f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.∴f(x2-x1)-1>0.=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)练一练强化补请完成状元之路课时作业并思考：已知定义在R上的函数y=f(x)满足,f(0)≠0,且当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性.一、抽象函数的单调性与最值

10、解:(1)令a=b=0,则任取x1,x2∈R，且x10恒成立.由于当x>0时，f(x)>1,则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]>f(x1).即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.=f(x2-x1)·f(x1)∴f(x2-x1)>1.【1】若对一切实数x,y都有(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.令x=y=0,则令y=-x,则故f(x)是奇函数.解:因为对于任何实数x,y都有练一练【3】已知函数f(x)对于任何实数x,

11、y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.令x=y=0,则令x=0,则故f(x)是偶函数.解：已知函数f(x)对于任何实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，练一练例2.判断函数在区间(-1,1)上的单调性.解:设则f(x1)－f(x2)∵－1＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(-1,1)上是减函数.二、函数单调性的判定及证明例3.设为奇函数,且

12、定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．解:(1)由f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),整理,得证明:(2)任取x1,x2,且x1