分类计数原理与分布计数原理(叶小兵)

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1、综合问题排列问题(在排列应用问题给合应用问题(含与不含)与不在，邻与有限制条件的组合问题不邻)相互独立事件同时发生的概率互斥事件有一个发生的概率随机事件的概率系数性质概率有限制条件的选排列公式排列数公式排列数公式通项公式二项式定理组合排列全排列公式组合数性质加法原理乘法原理应用选修2-3排列、组合和概率问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？1.1分类计数原理与分步计算原理1.1分类计数原理与分步计算原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有

2、m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.对于分类计数原理，注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.1.1分类计数原理与分步计算原理问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日

3、从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？1.1分类计数原理与分步计算原理分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.1.1分类计数原理与分步计算原理对于分步计数原理，应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分

4、步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.1.1分类计数原理与分步计算原理从实际问题中如何判断该用哪个定理？例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少不同的取法？自主思考：题号完成一件什么事？完成这件事可分几类？每类方案中分别有几种不同的方法？完成这件事共有多少种不同的方法？完成表格，归纳结论表一：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？自主思考：题号完成一件什么事？完成

5、这件事可分几步？每步中分别有几种不同的方法？完成这件事共有多少种不同的方法？完成表格，归纳结论表二：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？例题讲解例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有

6、11种不同的取法．例题讲解例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法分步乘法分类加法共同点区别一完成一件事情共有n类方案。完成一件事情,共分n个步骤。区别二每类中的任一种方法都能独立完成这件事情。每步要而且只要拿出一种方法就可以完成一件事情。都是要解决

7、完成一件事情的方法种数的问题。分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？怎样联合两个定理解决问题？解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=

8、28800种大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.怎样联合两个定理解决问题？自主