对数与对数的应用

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1、對數與對數的應用組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠一、數學單元主題教材內容分析教學重點：1.對數的基本定義與定律2.對數常用基本定律3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式4.對數函數的圖形與性質5.對數方程式與對數不等式6.對數表及科學記號的使用7.生活中的對數應用1.對數的基本定義設a＞0,a≠1,當ax＝b時,以符號logab表示x,即ax＝bx＝logab(指數關係)(對數關係)Ex.3x2＝2x＝log32logab稱之為以a為底數,b之對數；其中b叫真數記憶方式：右手轉基本性質logab＝xax＝bExample1.1滿足2x＝8的x值為何？Sol.顯然23＝8故x＝3問log28之

2、值為何？Sol.由定義知x＝log282x＝8又由上題得知23＝8故可得知log28＝32.對數常用基本定律設a＞0,r＞0,s＞0(1)logaa＝1(2)loga1＝0(3)logaax＝x(4)alogax＝xlogars＝logar+logasloga＝logar-logasExample2.1化簡Sol.原式Example2.2設x≠0,則logx2＝？Sol.logx2＝log

3、x

4、2＝2log

5、x

6、(因為真數必須是正數才有意義)3.對數的換底.連鎖.變形公式換底公式：連鎖公式：變形公式：Example3.1(利用換底＋連鎖公式)若log23＝a,log37＝b,以a,b表log

7、4256.Sol.利用換底公式,取2當新的底數原式＝又由連鎖公式知log27＝log23×log37＝ab∴log4256＝Example3.2(利用連鎖公式化簡)設a,b,c,dR+-{1}且a2＝c3,c2＝e5,求(logab)(logbc)(logcd)(logde)之值.Sol.已知,由連鎖公式知原式＝logae＝Example3.3(善用變形公式簡化問題)解2(xlog3)(3logx)－5xlog3－3＝0.Sol.令u＝xlog3＝3logx,則原式：2u2－5u－3＝0,解得u＝或3但u＝3logx＞0,故僅取u＝3,即3logx＝3,則logx＝1,∴x＝104.對數函數的

8、圖形與性質指對數的反函數關係底數和圖形的關係Example4.1對數函數的增減特性對數函數的增減特性Example4.2(利用真數和底數決定大小關係)設,比較a,b,c,d之大小順序.※解答見下頁投影片Sol.1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1：得知a＜0,b＞0,c＜0,d＞02.由底數判斷函數的增減：因為a,c底數為＜1,故為減函數,由此得知a＞c3.化簡再用函數增減特性比較：由1.2.3得知c＜a＜b＜d5.對數方程式及對數不等式1.設0＜a≠1,則logax1＝logax2x1＝x2＞02.(1)設a＞1,則0＜x1＜x2logax1＜logax2(2)設0＜a＜1,loga

9、x1＜logax2x1＞x2＞0Note.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制!！Example5.1(解對數方程式時請注意解的範圍)解log6x＋log6(x2－7)＝1Sol.Example5.2(解對數不等式請小心限制範圍)解log2x＋logx2＜Sol.6.對數表及科學記號的使用常用對數與科學記號常用對數：一般以10為底數之對數log10x,以logx表之,稱之為常用對數.科學記號：若a＞0,則可化為a＝b×10,其中nZ且1≦b＜10,稱為科學記號表示法.首數與尾數之運用巨大數字之處理原理:若x＞1且logx＝n＋c,其首數n≧0,尾數c＜1,則x之整數部

10、分為n＋1位數分析n≦logx＝n＋c＜n＋110x≦x＜10n+1又10x為最小的n＋1位正整數∴x之整數部分為n＋1位數Example6.1(1)27100＋5200整數部分為幾位數？首位數字？(2)1＋3＋32……＋380之和為幾位數？首位數字？Sol.微小數字之處理原理:若0＜x＜1且logx＝n＋c,其首數n＜0,尾數c＜1,則x之有效數字自小數點後面第

11、n

12、位開始Example6.2若()66在小數點後第k位始出現不為0之數字p,求序組(k,p)＝？Sol.對數表與內差法：Example6.3已知log3.42＝0.5340,log3.43＝0.5353,若logx＝-3.4650

13、,求x值.(取四位有效數字的近似值)Sol.7.生活中的對數應用本利和之計算設本金A,每期利率為r,期數為n1.單利本利和＝A(1＋nr)2.複利本利和＝A(1＋r)n3.年利率1分＝10％,1厘＝1％月利率1分＝1％,1厘＝0.1％Example7.1(利用查表求本利和)※解答見下頁投影片Sol.二.教學網頁設計理念加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念運用