复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

《复变函数与积分变换第3章复变函数的积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第3章复变函数的积分本章学习目标1、了解复变函数积分的概念;2、了解复变函数积分的性质;3、掌握积分与路经无关的相关知识;4、熟练掌握柯西—古萨基本定理;5、会用复合闭路定理解决一些问题;6、会用柯西积分公式;7、会求解析函数的高阶导数. 第3章复变函数的积分3.1复变函数积分的概念 3.1.1复积分的定义本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。同高等数学一样，也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤定义复变函数的积分。 3.1.2复积分存在的一个条件与计算1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 3.1.3积分的性质从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3积分的性质1、（为复常数）2、3、4、（由与首尾相接而成） 5、设为的长度,若沿可积,且在上满足,则这个性质提供了一种估计复变函数积分的模的方法 例1计算其中为从原点到点的直线段。解直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于 例2计算其中为以中心，为半径的正向圆周,为整数.解:的方程可写成所以因此 例3计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段解 例4计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。解: 第3章复变函数的积分3.2积分基本定理 3.2.1单连通区域的柯西定理——柯西—古萨基本定理积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即 几个等价定理定理一如果函数在单连通域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.定理二如果函数在单通连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且 3.2.2复连通区域的柯西定理——复合闭路定理复合闭路定理设有围线，其中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在的内部；设为由的内部与的外部相交部分组成的复连通区域，若在内解析且在上连续，则在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理. 例1计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。解: 第3章复变函数的积分3.3积分基本公式与高阶导数公式 3.3.1柯西积分基本公式定理(柯西积分公式)如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,为内部的任一点,那末公式称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示. 例1计算(沿圆周正向)解由柯西积分公式得 例2计算(沿圆周正向)解由柯西积分公式得 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具.(见3.3.2解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 3.3.2解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理 定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于. 例3计算其中为正向圆周:解:由公式得 第3章复变函数的积分3.4原函数与不定积分 原函数的概念下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。 定理如果函数在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么这里为区域內的两点。 例1计算解： 例2计算解： 例3计算解： 例4计算解：