多元函数的概念与极限

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1、第八章多元函数的微分法及其应用1CH1_§8.1多元函数的概念与极限平面上的点集多元函数的定义多元函数的极限四多元函数的连续性2CH1_一平面上的点集1邻域设称点集为点的邻域。称为点的空心邻域。3CH1_2区域（1）内点与开集设若使得则称点是的内点。若中的点全是它的内点，则称是开集。例如：开集（不是内点）4CH1_（2）边界点于边界若点的任一邻域内既有中的点又有不在中的点,则称点是的边界点。的全体边界点组成的集合,称为的边界，记为例如：它的边界为5CH1_（3）连通性若内任意两点都可以用完全属于的折线连接起来，则称是连通的。（4）区域连通

2、的开集称为开区域，开区域连同它的边界一起称为闭区域。将开区域与闭区域统称为区域。6CH1_3有界点集若存在的点及常数使得都有则称是有界的。例如：有界闭区域无界开区域7CH1_二多元函数的定义定义1设称映射为二元函数，记为其中为定义域。注：类似可以定义三元函数n元函数8CH1_三多元函数的极限定义2设在点的某个空心邻域内有定义，有若使得当时，则称是当趋于时的极限，记为或或（此极限也称为二重极限）9CH1_注：定义中趋于的方式是任意的。若按不同路径趋于时，的极限不同，则不存在。例1判断下列二重极限是否存在?(1)(2)解(1)不存在。10CH

3、1_(2)不存在。例2求下列二重极限(1)(2)(3)(4)11CH1_解(1)(2)(3)12CH1_(4)四多元函数的连续性定义3设在点的某个邻域内有定义，若则称在点处连续。若在区域上每一点处都连续，则称是区域上的连续函数。13CH1_注：多元初等函数在其定义域上是连续的。例如：（1）在圆周上不连续，其它地方都连续。（2）在原点处不连续，其它地方都连续。（3）在整个平面上连续。14CH1_有界闭区域上连续函数的性质：定理1（最值定理）有界闭区域上连续函数可以在该区域上取得最大值与最小值。定理2（介值定理）有界闭区域上连续函数可以在该区

4、域上取得它的任意两个函数值之间的一切值。15CH1_