多元函数的概念与极限(I)

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1、第二章多元函数微分学§1多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限11、邻域一、多元函数的概念22、区域例如，开集34连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，5有界闭区域无界开区域例如:63、聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例:(0,0)既是边界点也是聚点．74、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．定义域、值域、自变量、因变量8例1已知函数求解9例2设函数求解令代入得所以10例3求的定义域．解11例4求的定义域．解12例5求的定义域．解定义域：135、二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面14如：单值分

2、支:如：15二、多元函数的极限16说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．17例6求极限解例7求极限解令18例8求极限解其中19例9求极限解夹逼定理20例10求极限解夹逼定理21例11求极限解22例12讨论极限的存在性．当动点沿着x轴趋向点(0,0),即解时，不存在．不存在．23例13证明不存在．证沿三条不同的路径趋向于原点(0,0)轴轴不存在24例14证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．25不存在.观察播放26确定极限不存在的方法：(1)令趋向于若极限值与有

3、关，则可断言极限不存在．沿，(2)找两种不同趋近方式，使存在，但二者不相等，此时可断言处极限不存在．在点27三、多元函数的连续性定义328例15讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．29例16解30多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义31思考题32思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取33练习题343536练习题答案37不存在.观察38观察不存在.39观察不存在.40观察不存在.41观察不存在.42观察不存在.43观

4、察不存在.44观察不存在.45观察不存在.46观察不存在.47观察不存在.48观察不存在.49