02.调和四边形的性质及应用

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1、2012年第3期5调和四边形的性质及应用杨天禹王震于鹏飞指导教师刘利益(哈尔滨师范大学附属中学，150080)中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)03—0005—05(本讲适合高中)XFsin~BXCXFsinz~FXD—牟——————。———：———————。———AXsinAXBAXsinAXD调和四边形与调和点列、调和线束有着sinBXCsin／CXD密切的关系，是一类有着丰富内涵的基本图—sinAXBsinAXD形．本文以2011年全国高中数学联赛试题为契机，简单谈一谈其性质

2、与应用．甘：A8AD1知识介绍§AB·CD=BC·AD．1．3基本性质1．1定义性质1圆内接四边形ABCD是调和四设四边形ABCD是一个圆内接四边形，边形的充分必要条件为该四边形是正方形在是圆上一点．若XA、XB、XC、XD是调和线束，某个反演变换下的反形．则称四边形ABCD是调和四边形．证明如图2、3，点P不在00上，且四1．2核心性质边形ACD是正方形．圆内接四边形ABCD是调和四边形的充B分必要条是为该四边形的对边乘积相等．、证明如图l，取弧AD上一点，联结XB、XC，分别与AD交于点、图2P图1故XA、XB、XC、X

3、D是调和线束．EFFD车一=——AEAD图3收稿日期：2011—12—10万方数据6中等数学由PA·PA=PB·朋，APB=APB，以BPCBC一=一一=～PDAD’PDCD‘△ABP∽AB～APAB又．PcAB=。一=一．A

4、B’PB。‘同理，云cDPCBC=面PCj四边形ABCD是调和四边形．，D=，，充分性．一由四边形ABCD是调和四边形知AD一PD。AB·CD：BC·ADAB·CDBC·AD4^。蚁若过点A的切线平行于BD，则AB=AD．BC=CD．AB·cD：BC·AD．由此，过点C的切线也平行于BD．所以，四边形

5、ABCD是调和四边形．【注】性质1也是作调和四边形的一种于是，BD与过点4、C的切线平行．常用方法．下设过点A、c的切线均与BD相交．若性质2圆内接四边形ABCD是调和四不共点，则设过点A、C的切线与BD分别交边形的充分必要条件为其中一条对角线在于点P1、P2，且P1B≥P2B．两端点处的两条切线与另一条对角线共点或由AP1AB∽△PlDA，AP2BC∽△CD平行．。P1BABBCP2B～P1A一PC证明必要性．2如图4．jPlA=PlB·P1D，P2C：P2B·P2DPtBP，BA～一P1DPD’因此，点P。与P重合．．故

6、充分性得证．U．．性质3圆内接四边形ABCD是调和四C边形的充分必要条件为AC是△ABD的A一图4陪位中线．1／／BD叭证明如图6，设为BD的中点．AB=AD．BC=CDA8·CD=BC·AD四边形ABCD是调和四边形．如图5．1，4‘．／／。PD图6则AC为AABD的A一陪位中线甘BAC=MAD图5乍》sinBACsin／DAM由APAB∽△PDA，APBC∽△PCDsinCAD—sinBAM’万方数据2012年第3期7由M为BD的中点注意到，MABD+ADB+BAD：180。一一一丝c_sinBAM—AD’sinCAD—

7、cD：BAD+BCM+MCD．BAC=DAM则ABD=BCMCAB．．铸加：MCDC=一=一CDAD甘△BCM的外接圆与AB相切甘四边形ABCD是调和四边形．甘BCM=ABD2应用§／BCM=ACD铮CA是△BCD的C一陪位中线为简便叙述，以下例l～3均记M为BD§四边形ABCD为调和四边形．的中点．例3圆内接四边形ABCD是调和四边例1圆内接边形ABCD是调和四边形的充分必要条件为0、M、C、A四点共圆。形的充分必要条件为BD平分AMC．证明如图8．联结OM、OC、OD．证明在图6中，联结AM并延长与o0交于点E，联结li

8、E、DE．易知，点曰、D关于OM对称．故BD平分AMC甘／AMB=BMC铮BMC=DME铮点C与E关于OM对称亡BC=DE甘BAC=EAD蹦8甘AC为△ABD的一陪位中线则COD=2CAD，MOD=／删D．甘四边形ABCD是调和四边形．故0、M、C、A四点共圆例2圆内接四边形ABCD是调和四边铮MOC=C形的充分必要条件为△BCM、△MCD的外铮DD一MOC=／BAD一MAC接圆分别与AB、AD相切．甘CpD=CAD+BAM证明如图7．铮CAD=BAM铮AC为△ABD的A一陪位中线铮四边形ABCD是调和四边形。例4已知直线上

9、三定点依次为／l、曰、Dc，厂为过、C且圆心不在AC上的圆，分别过点A、C且与圆，1相切的直线交于点P，朋与圆厂交于点Q。证明：AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Jr1的选取．i7(第45届IMO预选题)万方数据8中等数学证明如图9，QBD=CBA=PAC．P设Pp与圆Jr’交于例6平面