4.2换元积分法第二类换元法资料

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1、§4.2换元积分法（第二类）Ⅰ授课题目（章节）：§4.2换元积分法（第二类换元积分法）Ⅱ教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分时,如果函数g(x)可以化为的形式,那么所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代

2、换将无理函数的积分化为有理式的积分。即若上面的等式右端的被积函数有原函数，则,然后再把中的还原成，所以需要一开始的变量代换有反函数。定理2设是单调、可导的函数，且，又设有原函数，则分析要证明，只要证明的导数为，，7§4.2换元积分法证明单调、可导，存在反函数，且是是一个原函数.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则，，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1求解令，，则.借助下面的辅助三角形把，用表示.例2求解令，，则，7§4.2换元积分法类型2：被积函数中含有可令并约定，则；；可将原积分化为三角有理函数的积分.

3、例3求解令，，则，.例4求解令，，则，例5求（分母是二次质因式的平方）解令，则，7§4.2换元积分法练习：求（第二换元积分法分）解，令则类型3被积分函数中含有，当时，可令，并约定，则，，当时，可令，则，可将原积分化为三角有理函数的积分。例6求解被积函数的定义域为，当时，令，，则，有.7§4.2换元积分法当时，令，则有时，例7求解时，令,则,，有，时，令，则有无论或均有注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接

4、的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.7§4.2换元积分法例8求解法一（用第一换元法）时，时，令则两式合并解法二（第二换元法）（1）当时，,则,.（2）当时，令由(1)(2)两种情况可得Ⅴ归纳总结1、第二类换元积分法的思想若中的被积函数为无理函数，可以选择适当的变量代换，将无理函数的积分化为有理式的积分.2、第二类换元积分法适用的被积函数类型7§4.2换元积分法类型1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则；可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有可令并约定，则；；可将

5、原积分化为三角有理函数的积分.类型3被积分函数中含有，当时，可令，并约定，则，，当时，可令，则，可将原积分化为三角有理函数的积分。Ⅵ课堂练习：P208习题4-22（37）Ⅶ课外作业：P208习题4-22（36）（37）（38）（40）（42）7§4.2换元积分法