数学建模与数学实验

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1、第一讲什么是数学模型课程介绍名称：数学模型、数学实验性质：全校选修课参考教材：姜启源，数学模型，高等教育出版社叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二、三、四），湖南教育出版社Matlab教程数学数学的实质：服务性学科强有力的工具与现实的紧密联系David:被人如此称颂的高技术本质上就是数学——数学技术Mathematic一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商业和日常生活中所起的作用越来越大另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。h.g.grass

2、mann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。”数学教育Education诺贝尔经济学奖的启示自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，获奖者大多数具有深厚的数学功底。娴熟的数学技巧加上出众的思想，是他们摘获诺奖桂冠的超凡之道他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。诺贝尔经济学奖屡颁数学家刚刚公布的2003年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学家罗伯特·恩格尔和英国经济学

3、家克莱夫·格兰杰分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）数学模型据统计：近几年全世界所发表的科技论文中，使用频率最高的关键词即为——数学模型运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而这种数学表述就是一个数学模型。MathematicModeling数学建模的流程实际问题分析建立数学模型求解数学模型解释数学解在实际中印证提出报告或结论NoYes实例一：

4、椅子放稳模型假设：1四条腿一样长、连线呈正方形、与地面接触在一点上2地面高度连续变化3至少三条腿同时着地中心问题：用数学语言将椅腿着地的条件与结论表示出来：距离令：f(θ)表示AC两脚与地面距离之和g(θ)表示BD两脚与地面距离之和θABCDA’模型求解由假设得：1f(θ)与g(θ)为连续函数2f(θ)与g(θ)应至少有一个为0当θ=0时，不妨设g(θ)=0，于是问题变为：存在θ0点，使f(θ0)=g(θ0)=0θABCDA’模型求解设：h(θ)=f(θ)-g(θ)则：θ=0时h(0)=f(0)>0θ=π/2时？h(π/2)=-g(π/2)<0由介值定理，存

5、在θ0使得h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)又f(θ)与g(θ)应至少有一个为0则：f(θ0)=g(θ0)=0θABCDA’即：椅子一定能够放平实例二:商人过河三商三从一起过河河中一船一船容二商人掌权从多杀人过河方案?建立模型引进数学工具：向量记第k次渡河前此岸，商人数xk，随从数yk状态容许状态集合决策（每次过河方案）容许决策集状态变化律求决策使sk=(xk，yk)S={(x,y)

6、x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=1,y=1;x=2,y=2}dk=(uk,vk)D={(u,v)

7、u+v=1,2}sk+1=sk+(-1)kdk

8、d1,d2,……,dn,s1(3,3)sn+1(0,0)此岸彼岸Sn(0,0)渡回随从S1(3,3)商人答案Sn(0,0)随从S1(3,3)商人Sn(0,0)随从S1(3,3)商人d1d2d3d4d5d6d7d9d8d10d11文字叙述：略实例三：人口模型问题提出：人口预测例如：1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53%预测2000年末：12.5×（1+0.00953)2≈12.7当时人口钟为：1271322005设　基年人口数为x0，k年后为xk，年增长率为r则　人口增长模型为xk=x0(1+r)k模型一：指数增长模型基本假设：人口的自然增长率是一

9、个常数，或说单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。设t时刻人口数为x(t)，t=0时人口增长率为r，则取△t→0，有x’(t)=rx(t),即解为x(t)=x0ert离散化er≈1+r(r<<1)则有x(t)≈x0(1+r)tMalthus（1766-1834）人口模型指数增长模型模型解为x(t)=x0ert模型二：阻滞增长模型模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数r(x)=r-sx，（s、r>0）设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量）为xmr(xm)=0有模型为解得Logistic模型阻滞增长模型模型解为Logistic模型图示阻

10、滞指数阻滞指数著名的数学模型自然数欧几里德的几何学微