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1、降次•…解一元二次方程知识点1直接开平方法解一元二次方程你能用以前所学的知识求岀下列方程的根吗？(1)x2=36(2)3x2-6=0(3)x2-64=0利用平方根的定义直接开方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。如果方程能化为xJp或者(mx+n)2=p的形式，那么可得x=±7p或mx+n二土&例1解下列方程(1)x2=6(2)x2-2x+4=1(3)(x+V2)(x-V2)=-2练习：用直接开平方法解下列一元二次方程4x2-1=02、(x-3)2=23、(—1)2=54、81(x-2)2=16知识点2配
2、方法解一元二次方程问题：要使一块长方形的场地的长比宽多6米,并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是多少?通过配完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。一般步骤：(1)移向；(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)用直接开平方法解变形后的方程。例2用配方法解下列一元二次方程。1>x2-4x=962、3x2-2=4x3、2x2-3x+2=0练习：(1)x2-4x-5=0(2)2x2+3x-l=0(3)3x2+2x-7=0知识点3公式法解一元二次方程任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，①移项，得，二次项
3、系数化为1,得，配方，②因为a#0,所以4a2>0•式子b2-4ac有三种情况:(1)当b2-4ac>0时,由②可得，方程有两个不相等的实数根x产，x2=,(2)当b2-4ac=0^,出②可得，此时方程冇两个相等的实数根X
4、=X=o(3)当b2-4ac<0时，由②得(X-—)2<0,x取任何实数都不能满足(x-—)2<0,此时方程无实数根。2a2a公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a,b,c的值；(2)求出Maae的值；(3)当b2-4ac>0时，方程冇两个不相等实数根；当b2-4ac
5、=0时，方程冇两个相等的实数根;当bSacvO吋方程无实数根。例3用公式法解下列方程(1)x2-2x-8=0(2)4y=--y2(3)+1=2^y2(4)2x2-5x+1=0(5)-4x2-8x=-l(6)近x1-gx-近=0知识点4一元二次方程根的判别式将ax2+to+c=030)配方后可知只有当b2-4ac>0时,方程才有实数根。一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+/?x+c=0(a#0)根的判别式。例4不解方程，判断下列方程根的情况(1)5x2-3x=2；(2)25『+4二20y；(3)2x2+V3x
6、+l=0例5当m为何值时，关于x的的一元二次方程x2-4x+m-丄二0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？练习：1•一元二次方程3x2-2x+1=0的根的情况是.2.若一元二次方程x=ax+l二0的两实根相窖？则a的值是()A・a二0B.a二2或a二-2C.a-2D.a二2或a二03.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x(x+1)=3(2)-3x-2=04、己知方程ax'+bx+c二O(aHO)中，3和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。知识点5因式分解法解一元二次方程解方程5x2-3x=O述
7、冇没冇英他的方法?从准豔蠶諾蠢牆篦議式的乘积等于0的形式’再使两个一次式的乘积分别等于例6解下列方程:(1)3x(2x+l)=4x;⑵5x7+”—2出.练习：1＞解下列方程(1)x2+x=0(4)4x2—121=0(2)x2-2V3x=0(5)3x(2x+l)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)22、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.知识点6一元二次方程的根与系数的关系解方程2x2—3x+l=0得X］二,x2=oX]+X2=,若一元二次方程ax2+/7x+c=
8、0（曲0）的两根分别是X
9、,x2,根据求根公式可得一b+Jb，-4cic-h-^lh2-4acXj+X2=X1X2=所以方程的两根X】、x?与系数a、b、c的关系为acX）+X2=——X
10、x2=-.ca例7根据一元二次方程跟与系数的关系，求下列方程两根x「X2的和与积(1)x2-6x-15=0；(2)3x2+7x-9=0；(3)5x-l=4x2例8已知关于x的方程kV-2(Z:+l)x+l=0冇两个实数根.(1)求k的取值范围；⑵当k二1时，设所给的方程的两个实数根为X，x2,求乞+卫的值.西尢2
