高等数学第六版

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1、函数的基本概念1预备知识2集合,区间,常量与变量2.1集合,元素,关系,运算集合：指具有某种特定性质对象的全体.一般用A,B等表示.元素：组成集合的对象称为集合的元素.一般用a,b等表示.空集,Φ.元素与集合的关系：属于,不属于.a∈A,a̸∈A.集合间的关系:包含,真包含,相等.A⊆B,A⊂B,A=B.集合的运算:并,交,差,补.A∪B,A∩B,A−B,A.2.2区间区间,开区间,闭区间,半开半闭区间,无限区间.(a,b)={x

2、a

3、a≤x≤b},(a,b]={x

4、a

5、a≤x

6、x>a},(

7、−∞,b)={x

8、x

9、

10、x−x0

11、<δ}.去心邻域,左半邻域,右半邻域.常量与变量：在某过程中保持一定值的量为常量,可以取不同值的量为变量.3函数的概念例12圆的面积A=πr,R>0.圆的周长l=2πr,r>0.12自由落体运动的位移s=gt,0≤t≤T.23.1定义定义1设x和y是两个变量,D是一个给定数集.若∀x∈D,y按照一定法则,总有确定的数值与之对应,则称y是x的函数.记为y=f(x).x为自变量,y为因变量,D为定义域,函数值的全体W={y

12、y=f(x),x∈D}为函数值域.注:定义

13、域与对应法则是函数的两个要素,它是判断两个函数是否相同的标准.如:x−11f(x)=与g(x)=不同,x2−1x+1√f(x)=x与g(x)=x2不同,22f(x)=sinx+cosx与g(x)=1相同,22f(x)=x+1与g(t)=t+1相同.3.2分段函数用几个式子来表示一个函数为分段函数.如:8>>>>>>1,x>0,>>>>>:x,x≤08>>>>>>x,x≥0,

14、x

15、=的定义域为(−∞,+∞).>>>>>>:−x,x<08>>>>>>1,x>0;>>>>><例2y=sgnx=定义域为D=>0,x=0;>>>>>>>

16、>>>:−1,x<0.(−∞,+∞),值域为W={−1,0,1}.例3y=[x]表示不超过x的最大整数.如:√[2]=1,[π]=3,[−1]=−1,[−3.5]=−4.该函数的定义域D=(−∞,+∞),值域为整数集.例4某商品价格按照如下规则出售:购买50件以内单价为15元,购买50件(含50件)以上按9折优惠.试建立购买金额与购买量的函数关系.解:设x为购买量,y为购买金额,则当x<50时,y=15x.当x≥50时,y=0.9×15x.因此,所求的函数关系式为分段函数8>>>>>>15x,x<50,>>>>>:13.5x,x≥50.3.3参数方程及

17、其图形通过给出自变量与参变量间的对应法则,和因变量与参变量间的对应法则,间接的给出因变量和参变量的对应法则.此种方法给出的函数称为参数方程.例5参数方程8>>>>>>x=t+1,<>>>>>2>:y=2t+1表示什么函数?解:y=2(x−1)2+1.u4函数的几种特性4.1有界性,有上界,有下界,有界函数,无界性设有函数y=f(x),x∈D,X⊂D.若∃M>0,使得∀x∈X,有

18、f(x)

19、≤M,则称y=f(x)在X上有界.若这样的M不存在,即对充分大的M>0,都存在x1∈X,使得

20、f(x1)

21、>M,则称f(x)在X上无界.若X=D,则称y=f(x)为有界函数.有界函数在几

22、何上可以用两条平行线(平行于x轴)夹1住.如：y=sinx在(−∞,+∞)内有界;f(x)=在x(1,2)内有界,但在(0,1)内无界,由此知,有界与区间有关.4.2单调性,增函数,减函数设有函数f(x),x∈D,I⊂D.∀x1f(x2),则称y=f(x)在I上单调递减.注:单调性也与区间有关.如：y=x2在(−∞,+∞)内非单调,但在(0,+∞)内单调递增,在(−∞,0)内单调递减.4.3奇偶性,奇函数,偶函数,图像特征设有函数f(x),x∈D=(−l,l).若对∀x∈D,,有f(−x

23、)=f(x),则称f(x)为偶函数.若对∀x∈D,,有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数.如：f(x)=x2是偶函数,f(x)=x3为奇函数;不满足上述两条的为非奇非偶函数,如f(x)=x2+x.判断奇偶性:1+xf(x)=ln,(奇)1−x√g(x)=ln(x+x2+1),(奇)ex+e−xh(x)=.(偶)2奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于y轴.例6证明定义在(−l,l)上的任意函数可表为一个奇函数与一个偶函数之和.证明:设f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=g(−x),h(x)=−h(−x).