高等数学第六版

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1、因此，第一章是认识对象、掌握方法.后面各章是用极限方法研究函数的各种性质，如连续性、可导性、可积性、可逐次逼近性等各种性质.初等数学的研究对象——常量高等数学对象——变量方法——极限依赖关系函数一、集合1.集合具有某种特定性质的对象的总体.组成这个集合的对象称为该集合的元素.（列举法）（描述法）集合按其所含元素有限、无限可分为有限集与无限集.第一章函数与极限§1.映射与函数2.实数与数轴：O1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上点的集合一一对应.有理数系（无理数系、实数系）的稠密性：任意两个有理数（无理数、实数）之间都有无穷多个有理数（无理数、实数）.数集分类:N--

2、--自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集例如,规定空集为任何集合A的子集,3.集合的运算：集合的并：集合的交：集合的差：集合的直积：AB(x,y)xyAB集合的余集（补集）：(P2)如在实数集R中，集合的并、交、余的运算法则(P3)注：考察余集必须指明全集4.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.5.邻域:6.绝对值:运算性质:绝对值不等式:（三角不等式

3、）7.一个常用不等式二、映射(自学)（P5-P7)在Y中有唯一确定的元素记作集合X称为映射f的定义域,三、函数1.函数概念定义因变量自变量定义域注:1.以上定义的函数也称为单值函数;函数的两要素:定义域与对应法则.约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.函数的图形:注意：构成函数的这两个要素是判别两个函数是否为同一个函数（或者说相等）的依据.(2)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数xyO12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数有理数点无理

4、数点•1xyo(4)狄利克雷函数如:[5.3]=5,[-4.5]=-5.在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(5)取最值函数(5)取最值函数yxoyxo复习邻域:取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数函数的两要素:定义域与对应法则.例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例2解故例3解下列各题2.函数关系的建立1.函数的列表表示：某公司一年中月销售额统计月份123456789101112销售额2524181716171718192123242.函数的图像表示：某气象观

5、察点24小时气温观察资料图OtT3.函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？3.函数的几种特性(1)函数的有界性(下)(下)x0y12.有上界有下界有界无界x0y12.易证:(2)函数的单调性xyo减少xyo(3)函数的奇偶性偶函数yxox-x奇函数yxox-x(4)函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.4.函数的初等运算(1)函数的四则运算(2)复合函数定义注意:a.不是任何两

6、个函数都可以复合成一个复合函数的;b.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；c.复合运算不满足交换律,例7解复合函数的求法（代入法，分析法）1、代入法例8解2、分析法（关键抓住最外层函数定义域的区间段）综上所述(3)反函数运算DD(c)直接函数与反函数的图形关于直线对称.5.基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.xyOy=C1.常值函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数6.反三角函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤

7、所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.基本初等函数（6类）:常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.问题:分段函数是否为初等函数?一般不是.但双曲函数与反双曲函数(P17-20)奇函数.偶函数.双曲函数:奇函数,有界函数,双曲函数常用公式反双曲函数:奇函数,奇函数,小结基本概念集合,区间,邻域,绝对值.映射的概念、函数的概念.函数的初等性质有界性、单调性、奇偶性、周期性.函数的初等运算四则运算、复合运算、反函数运算.基本初等函数，初等函数函数的分类:函数初等函数非初等函数(某些分段函数,有无穷多项等