杆系结构补充知识

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1、空间杆系结构yx·j·iYzxy对于梁单元，y轴和z轴分别为横截面上的两个z惯性主轴。XZ坐标系统1、一维杆单元一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为p。单元有2个结点i，xj，单元坐标为一维坐标轴x。pxijx··uiujlLINKe⎧ui⎫单元结点位移向量{}δ=⎨⎬u⎩j⎭1、一维杆单元e⎧ui⎫单元结点位移向量{}δ=⎨⎬u⎩j⎭e⎧Fi⎫单元结点力向量{F}=⎨⎬F⎩j⎭eEA⎡1−1⎤[k]=⎢⎥l⎣−11⎦2、平面桁架杆单元（2DLINK1）¾看成局部坐y标下的拉压杆δ2δ4δ1ijδx3l局部坐标单元位移向量y⎧δ1⎫⎪⎪δδ⎪δ

2、⎪24{}e2δ=⎨⎬δ1δ3ijδx⎪⎪3⎪⎪⎩δ⎭42、平面桁架杆单元（2DLINK1）单元刚度矩阵⎡10−10⎤⎢⎥EA0000[k]e=⎢⎥l⎢−1010⎥⎢⎥⎣0000⎦3、空间杆单元（3DLINK8）yδ2δ5δ1iδjδx64lδz3局部坐标单元位移向量{}e[]Tδ=δδδδδδ1234563、空间杆单元（3DLINK8）对于等截面铰接杆单元，⎡100−100⎤⎢⎥000000⎢⎥EA⎢000000⎥e[k]=⎢⎥l−100100⎢⎥⎢000000⎥⎢⎥⎣000000⎦4、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元yyδ2δ4F2F4ijxijxllδ1δF1F33局部坐

3、标下单元位移向量{}e[]T[]Tδ=δδδδ=vθvθ1234iijj4、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元⎡12EIz6EIz12EIz6EIz⎤−⎢l3l2l3l2⎥⎢6EI4EI6EI2EI⎥zzzz⎢−⎥22[k]e=⎢llll⎥12EI6EI12EI6EI⎢zzzz⎥−−−⎢3232⎥llll⎢6EI2EI6EI4EI⎥zzzz⎢2−2⎥⎣llll⎦适合于连续梁分析•整体坐标与局部坐标方向一致5、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（平面刚架，BEAM3)yyδ3δ6F3F6δijxFijx1δ41F4llδ2δF2F55局部坐标单元位移和单元力{}e[]T[]Tδ=

4、δδδδδδ=uvθuvθ123456iiijjj5、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（平面刚架，BEAM3)⎡EAEA⎤00−00⎢ll⎥⎢12EI6EI12EI6EI⎥zzzz⎢00−⎥3232⎢llll⎥6EI4EI6EI2EI⎢zzzz⎥00−⎢22⎥[k]e=llll⎢EAEA⎥⎢−0000⎥ll⎢⎥12EI6EI12EI6EI⎢0−z−z0z−z⎥3232⎢llll⎥⎢6EIz2EIz6EIz4EIz⎥00−⎢22⎥⎣llll⎦6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元（面外弯剪扭梁单元）yyδ2δ5F2F5ijF1ijδ1lδxlFx44δ3δ6F3F6z

5、zδ1δ2δ3δ4δ5δ6F1F2F3F4F5F6θxiθyiwiθxjθyjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj此类单元适用于受面外荷载的平面框架。6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元（面外弯剪扭梁单元）yyδ2δ5F2F5ijF1ijδ1lδxlFx44δ3δ6F3F6zz如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形，弯曲和扭转之间是相互独立的。6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元（面外弯剪扭梁单元）另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。

6、即θ−θxixjMG=Jxil式中：GJ为截面扭转刚度。6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元(面外弯剪扭梁单元）⎡GJGJ⎤00−00⎢ll⎥⎢4EI6EI2EI6EI⎥yyyy⎢0−0⎥22⎢llll⎥⎢6EIy12EIy6EIy12EIy⎥0−0−−⎢2323⎥[k]e=llll⎢GJGJ⎥⎢−0000⎥⎢ll⎥2EI6EI4EI6EI⎢yyyy⎥0−0⎢ll2ll2⎥⎢6EI12EI6EI12EI⎥yyyy⎢0−0⎥2323⎣llll⎦7、空间梁单元（BEAM4）空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12。下图给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号

7、。单元力的正向及其编号与单元位移相同。yθyiθyjvivjθxiuiijujθxjlxwwijθθzizjzy5112841ij710lx39612z综合前述结果，得空间梁单元局部坐标单元刚度矩阵。e⎡[k1][k2]⎤[]k=⎢⎥[]k[k]⎣34⎦uvwθθθxyzxyz⎡EA⎤00000⎢l⎥⎢12EI6EI⎥zz⎢0000⎥32⎢ll⎥12EI6EI⎢yy⎥000−0⎢l3l2⎥[k]=1⎢GJ⎥⎢00000⎥⎢l⎥6EI4EI⎢yy⎥00−00⎢2⎥ll⎢6EI4EI⎥zz⎢02000⎥⎣l