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1、推导生产函数的长期成本曲线的包络特性目标函数含参数的无约束及约束最优化的应用09级财政学专业张晨林1200902050摘要：本文将先利用包络定理可解决目标函数的无约束最优化问题的特性来证明“长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络曲线”，再以柯布-道格拉斯生产函数作为目标函数约束最优化的例子，來证明同一结论。从而间接证明了在实际生产中，企业追求利润最大化対决策的影响。关键词：包络曲线；参数；成本函数；生产函数目前高等院校使用的微观经济学教科书中，対于长期总(平均)成本曲线的形成过程，都是在短期总(平均)成本曲线的基础上，结合实际经济背景并利用几何图形分析后描述出“长期总(平
2、均)成本曲线分别是在短期总(平均)成木曲线的包络曲线”而形成的。这种用初等方法描述的优点是直观、易懂，缺点是缺乏严谨的数理基础，不具备理论上的可靠性，在实际应用中给人以事是而非的印彖，因而有必要依靠数理经济学方法从理论上加以严谨证明。无约朿优化经济模型含有外生变量或参数时，模型的最优解将依赖于这些外生变量及参数。包络定理可以通过这些外生变量或参数的偏导数解决目标函数的最优值问题，以下先介绍包络定理及其在求解长期成本函数中的应用。一、包络定理及在求解长期成本函数中的应用(一)包络定理定理一(单个外生变量或参数的包络定理)设F(x；a)是xwR"的C、函数，awR为标量，对
3、选定的参数/考虑无约束极大化问题maxF(x；a)o令/(a)是这个问题的最优解且是a的C函数，对应的目标函数的最优值记为G(a)=F(x*(a);a),则G(a)关于参数a的导数为Q(«)=—F.*(a)；a)=—F(x*(a);a)dada上式的第二项表示函数F(x；a)在点(x»(a),a)处关于参数a的偏导数。定理二(多个外生变量或参数的包络定理)设F(x；a)是xW疋的&函数，"(/，G7?为向量，固定标量a』(j二1,2,…，m,但jHi),对参数考虑无约束最大化问题maxF(x；a)令X*(a)是这个问题的最优解且是a的C‘函数，对应的目标函数的最优值记为
4、G(a)=F(x*(a);a),则G(a)关于参数❻的偏导数为G(d)」F(x*(a);a),i二1,2,…，n上式的第二项表示函数F(x；a)在点(X”(a),a)处关于参数的偏导数。(二)求解无约束条件下目标函数的长期成本曲线可以用这样一•种方法，对短期内固定的各种投入水平/分别构造短期总成本曲线。一旦厂商决定了产出水平q，他将选择使得q处于总成本最小的投入水平a,这样，长期总成本曲线就是这些短期总成本曲线的下包络(lowerenvelope),且总是不大于任何特定的短期总成本曲线。⑴例给定依赖于投入参数y的短期总成本函数c(q,y)二ay+bq+dq/(2y),这
5、里a,b,d>0.求长期总成本函数c(q).解这里是求c(q)关于y的极值minyc(q,y)的目标函数的最小值，这里q看作参数。对c(q,y)求y偏导,得到2c(q,y)=a-dq2/2y2,令其为零,就可得到该极值问题的最优解y=J£,将其代入c(q,y)并化简得到c(q)=(丿而+b)q。此式实际上是一个无约束生产V2a函数的逆函数，当然我们可以将其转换成原来的形式。y=10,y=20•这三种投入水平所对应的短期总成本都是最低的。以上为例将无数倘若我们给出三种不同的产出水平q二5,q二10,q二20,我们相应的可以得到y二5个最低短期总成本点连接起来，就可得到长期
6、总成本曲线。可以很直观的看出它是短期总成本曲线的包络曲线。这是单个外生变量或参数的包络定理的应用，同理，多个外生变量或参数的包络定理也同样可以应用于复杂的成本函数，但本文的目的旨在证明长期成木曲线的包络特性，就不再赘述了。二、约束条件下目标函数最优化的经济应用(一)生产函数在国内外数理经济学实证分析中，应用最多的是柯布道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数(简称CD函数)本文将以此作为目标函数的约束最优化的例子，来证明长期成木曲线是短期总(平均)成本曲线的包络曲线这一基本特性。众所周知，生产函数是描述生产者的最优产出数量与各种生产要素投入量之间的一种技术关系，它刻
7、画出生产过程的基本特征。CD函数是在20世纪20-30年代由经济学家Cobb、Douglas所提出，其一般表达式为：Y=AL°KP(1)其中：Y表示产量；L表示劳动力的投入量；K表示资本的投入量。A、a,B均为正的常数。a,B分别被称为产出对劳动力及产出对资本的弹性。(二)证明过程及结果设s,r分别表示劳动力、资本投入的单位价格，则总成本函数为：TC二3L+rK在短期内，因为只有一种生产要素投入虽是可以变动的，我们不妨假设劳动力投入量L是可变的，而资本投入量K是固定的。由⑴得：1妙
8、L二心K：厂因此，短期总成本函数为：STC=wL+rKI
