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时间：2020-03-08
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1、曲线簇的包络曲线一、包络的定义定义1对于给定的一个单参数曲线簇：曲线簇(1)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线簇(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.对于给定的一个单参数曲线族：其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1)则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.(2)对任意的存在唯一的使得且与在有相同的切线.或定义：例如单参数曲线簇：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一簇圆.如图从图形可见,此曲线簇的包络显然为:xyo注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.如图
2、从图形可见,此曲线族没有包络.问题:对于给定的单参数曲线族:如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络则对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:从而得到二元函数使得若可用参数形式表示为:记则于是,上任取一个固定点M,则M在某一条曲线上.由于与在M点有相同的切线,而与在M点的切线的斜率分别为与所以,有从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此现在因此,包络线上任意一点M不仅要满足而且还要满足把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线二、包络的求法曲线族(1)的包络包含在下列两方程注:解
3、记则即例1的包络.求曲线族因此c-判别曲线包括两条曲线(4)和(5),xyO例2求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:Oxy
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