基于邻域的粗糙模糊近似【毕业论文+开题报告+文献综述】

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本科毕业论文开题报告信息与计算科学基于领域的粗糙模糊近似一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义粗糙集理论是波兰学者Pawlak于1982年提出的一种新的处理不确定性知识的数学工具.粗糙集理论将知识理解为“区分事物的能力”,形式化的知识是对论域的划分,因而通过论域上的等价关系表示.概念从外延角度理解为论域的子集合,带有不确定性的概念借助近似操作通过不精确概念从外延的角度近似表达,并以此作为相关理论研究的基础.Zadeh从隶属函数出发定义模糊集,从而建立模糊集理论和方法,隶属函数往往依靠专家的经验知识,以先验知识为基础.事实上,正因为建立在可靠的已知知识基础上,模糊集对不确定问题的处理往往会得到很好的结果.20世纪80年代末和90年代初粗糙集在知识发现等领域得到了成功的应用而越来越受到国际上的广泛关注.1991年Pawlak教授的第一本关于粗糙集的专著《RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData》的出版,推动了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究.2001年5月在重庆召开了“第1届中国Rough集与软计算学术研讨会”,邀请了创始人Pawlak教授做大会报告.刘清等探讨了粗糙集在近似推理、模态逻辑和智能代理方面的理论研究情况,张文修、吴伟志、梁吉业等人提出了基于随机集的粗糙集模型,并研究了粗糙集理论同包含度理论之间的关系.目前,粗糙集理论与神经网络、演化计算、模糊系统及混沌系统一起被公认为人工智能的五大新兴技术,在智能信息处理的诸多领域,如决策分析、机器学习、数据挖掘、模式识别等,获得了广泛的应用.在实际的决策问题中大量存在着属性值为模糊的情况,为此有学者提出将粗糙集与模糊集相结合的方法,当条件属性值为确定值而决策属性值为模糊时提出了粗糙模糊集,当条件属性值与决策属性值均为模糊值时,则提出了模糊粗糙集.模糊粗糙集是用模糊等价关系代替不可分辨关系,26 将对象分成模糊等价类.这种模糊粗糙集是建立在模糊等效关系上的.本文我们主要研究基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.首先,回顾了经典集合与经典二元关系的基本概念和性质,介绍了一般关系下的粗糙集合的定义和性质.其次,介绍了邻域算子与二元关系之间的联系,讨论了邻域算子的性质.最后,定义了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子,研究基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质.并证明了可以用基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题研究的基本内容:基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.解决的主要问题:1.定义基于邻域算子的粗糙模糊近似算子;2.用粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.三、研究步骤、方法及措施(一)研究步骤:1.查阅收集相关资料;2.翻译英文资料,修改英文翻译;3.仔细阅读并研究文献资料,撰写文献综述;4.在老师指导下,确定整个论文的思路,列出论文提纲;5.开题报告通过后,撰写毕业论文初稿;6.上交论文初稿;7.反复修改论文;8.论文定稿.(二)方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,参考相关内容.在老师指导下,归纳整理各类问题.与同组同学研究讨论,用数据调查结合文献论证的方法来解决问题.四、参考文献[1]Pawlak.Z.RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.[2]张文修,吴伟志,梁吉业等.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[3]程昳,莫智文.粗糙模糊集的分解定理及表现定理[J].26 四川师范大学学报(自然科学版),2001,24(1):29~31.[1]杜卫锋,孙士保.模糊粗糙集的表示定理[J].南交通大学学报,2005,40(1):118~121.[2]罗世尧.粗糙模糊集的性质[J].乐山师范学院学报,2005,5:18~19.[3]何新贵.模糊知识处理的理论与技术[M].北京:国防工业出版社,1998.Kerre.EtienneE.FuzzySetsandApproximateReasoning(EnglishEdition)[M].西安:西安交通大学出版社,1999.26 毕业设计文献综述信息与计算科学基于领域的粗糙模糊近似粗糙集理论是波兰学者Pawlak于1982年提出的一种新的处理不确定性知识的数学工具.粗糙集理论将知识理解为“区分事物的能力”,形式化的知识是对论域的划分,因而通过论域上的等价关系表示.概念从外延角度理解为论域的子集合,带有不确定性的概念借助近似操作通过不精确概念从外延的角度近似表达,并以此作为相关理论研究的基础.Zadeh从隶属函数出发定义模糊集,从而建立模糊集理论和方法,隶属函数往往依靠专家的经验知识,以先验知识为基础.事实上,正因为建立在可靠的已知知识基础上,模糊集对不确定问题的处理往往会得到很好的结果.模糊集理论和方法、粗糙集理论和方法都非常有效,其理论得到了不断发展和完善,其应用得到了很好的实践和推广.由于20世纪80年代末和90年代初在知识发现等领域得到了成功的应用而越来越受到国际上的广泛关注.1991年Pawlak教授的第一本关于粗糙集的专著《RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData》和1992年R.Slowinski主编的关于粗糙集应用及其与相关方法比较研究的论文集的出版,推动了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究.国内粗糙集的研究始于1994年,王珏、苗夺谦、王国胤、曾黄麟等人在将粗糙集理论引入我国方面作出了重要的贡献.2001年5月在重庆召开了“第1届中国Rough集与软计算学术研讨会”,邀请了创始人Pawlak教授做大会报告;2002年10月在苏州第2届和2003年5月在重庆第三届,举办“第9届粗糙集、模糊集、数据挖掘和粒度-软计算的国际会议”,因非典推迟到10月.刘清等探讨了粗糙集在近似推理、模态逻辑和智能代理方面的理论研究情况,张文修、梁吉业、吴伟志等人提出了基于随即集的粗糙集模型,并研究了粗糙集理论同包含度理论之间的关系.马志锋、刑汉承等在粗糙集控制方面做了深入研究.目前,粗糙集理论与神经网络、演化计算、模糊系统及混沌系统一起被公认为人工智能的五大新兴技术,在智能信息处理的诸多领域,如决策分析、机器学习、数据挖掘、模式识别等,获得了广泛的应用.通过知识的简化与知识依赖性分析,26 完全由已知数据导出决策规则.但在实际的决策问题中大量存在着属性值为模糊的情况,为此有学者提出将粗糙集与模糊集相结合的方法,当条件属性值为确定值而决策属性值为模糊时提出了粗糙模糊集,论域上任意一个经典集合不一定能用知识库中的知识精确描述,这时就用关于的一对上下近似来描述粗糙模糊集就是解决如何用中的知识来描述.粗糙集理论的主要思想是不精确的概念(被近似集)如何用可利用的知识库中的已知知识(近似空间中的可定义集全体)来近似描述.粗糙集理论与应用的核心基础是从近似空间导出的一对非数值型算子:上近似算子和下近似算子,并且这对算子与证据理论中的一对数值型算子:似然测度与信任测度的关系非常密切,集合的上、下近似被看成是对该集合近似好坏的定性描述,而集合的似然测度与信任测度又可以看成是对该集合近似好坏的定量描述,甚至从一定程度上可以将粗糙集理论看成是证据理论的基础.通常对粗糙集近似算子的研究主要有两种方法:构造性方法和公理化方法.构造性方法是以论域上的二元关系、邻域系统或布尔子代数等作为基本要素构造性地定义近似算子,然后导出粗糙集代数系统.由于二元关系常用来表示信息系统中的可利用信息,所以目前所见的粗糙集在数据分析中的应用基本上都是用构造性方法去定义近似算子.公理化方法的基本要素是满足某些公理集的近似算子,即粗糙集代数系统是事先给定的,然后去找二元关系使得由二元关系通过构造性方法定义的近似算子及其导出的粗糙集代数系统恰好就是事先给定的近似算子和粗糙集代数系统,这种粗糙集代数系统是由集合代数系统中的三个集合算子(交、并、补)加上两个粗糙算子(上、下近似算子)而形成的,这些算子非常相似于模态逻辑中的五个模态算子.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,用非等价二元关系推广了粗集近似算子的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个概念,称为粗糙模糊集.由于粗糙集理论分析处理不精确、不协调和不完备信息,因此作为一种具有极大潜力的有效的知识获取工具受到了人工智能工作者的广泛关注.目前,粗糙集理论已被成功应用在机器学习和知识发现、数据挖掘、决策支持和分析、过程控制、模式识别等计算机领域,该理论已成为计算机和信息科学的研究热点之一.本文我们主要研究基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.首先,26 回顾了经典集合与经典二元关系的基本概念和性质,介绍了一般关系下的粗糙集合的定义和性质.其次,介绍了邻域算子与二元关系之间的联系,讨论了邻域算子的性质.最后,定义了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子,研究了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质.并证明了可以用基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.26 参考文献[1]LAZadeh.Fuzzysets[J].InformationandControl,1965,8:338~356.[2]ZPawlak.RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.[3]张文修,吴伟志,梁吉业等.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[4]程昳,莫智文.粗糙模糊集的分解定理及表现定理[J].四川师范大学学报(自然科学版),2001,2(1):9~31.[5]杜卫锋,孙士保.模糊粗糙集的表示定理[J].西南交通大学学报,2005,40(1):118~121.[6]罗世尧.粗糙模糊集的性质[J].乐山师范学院学报,2005,5:18~19.[7]何新贵.模糊知识处理的理论与技术[M].北京:国防工业出版社,1998.[8]高新波.模糊聚类分析及其应用[M].西安:西安电子科技大学出版社,2003.[9]张金玲.环中关于理想同余的粗糙模糊集的性质[J].襄樊学院学报,2007,27(2):13~15.[10]吴伟志,张文修,徐宗本.粗糙模糊集的构造与公理化方法[J].计算机学报,2004,27(2):197~202.26 本科毕业论文（20届）基于邻域的粗糙模糊近似26 摘要基于邻域的粗糙模糊近似在机器学习、知识发现、算法研究、工程应用、决策支持系统以及模式识别等研究邻域有重要的应用.本文我们主要研究基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.首先,回顾了经典集合与经典二元关系的基本概念和性质,介绍了一般关系下的粗糙集合的定义和性质.其次,介绍了邻域算子与二元关系之间的联系,讨论了邻域算子的性质.最后,定义了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子,研究了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质.并证明了可以用基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.关键词:经典集;二元关系;模糊集;邻域算子;粗糙模糊近似26 AbstractRoughfuzzyapproximationoperatorsbasedonneighborhoodsystemsareimportantconceptsinmanyresearchfieldssuchasmachinelearning,knowledgediscovery,engineeringapplication,decisionsupportsystems,andpatternrecognitionetc.Inthisthesis,wemainlystudyroughfuzzyapproximationoperatorsbasedonneighborhoodsystems.Basicconcepts,propertiesofcrispsetsandcrispbinaryrelationsarefirstreviewed.Definitionsandpropertiesofgeneralizedroughsetsarethenintroduced.Relationshipsbetweenbinaryrelationsandneighborhoodoperatorsarealsopresented,andpropertiesofneighborhoodoperatorsarefurtherdiscussed.Finally,thedefinitionsofroughfuzzyapproximationoperatorsbasedonneighborhoodsystemsareconstructed,andtheirpropertiesareexamined.Wealsoprovethatthepropertiesofneighborhoodoperatorscanbecharacterizedbythepropertiesofneighborhood-systems-basedroughfuzzyapproximationoperators.Keywords:Crispsets;Binaryrelations;Fuzzysets;Neighborhoodoperators;Roughfuzzyapproximations26 目录摘要IABSTRACTII1前言11.1粗糙集理论的由来及发展11.2粗糙集理论的基本概念及核心基础21.3论文的组织结构22经典的集合与二元关系32.1经典集合的定义与性质32.2经典二元关系的定义与性质43一般关系下的粗糙集73.1模糊集的定义和性质73.2一般关系下的粗糙集94粗糙模糊近似的构造性定义与性质124.1粗糙模糊近似的定义124.2粗糙模糊近似的性质125粗糙模糊近似的公理化刻画176基于邻域系统的粗糙模糊近似217小结26参考文献27致谢2926 1前言1.1粗糙集理论的由来及发展粗糙集理论是波兰学者Pawlak于1982年提出的一种新的处理不确定性知识的数学工具.粗糙集理论将知识理解为“区分事物的能力”,形式化的知识是对论域的划分,因而通过论域上的等价关系表示.概念从外延角度理解为论域的子集合,带有不确定性的概念借助近似操作通过不精确概念从外延的角度近似表达,并以此作为相关理论研究的基础.Zadeh从隶属函数出发定义模糊集,从而建立模糊集理论和方法,隶属函数往往依靠专家的经验知识,以先验知识为基础.事实上,正因为建立在可靠的已知知识基础上,模糊集对不确定问题的处理往往会得到很好的结果.模糊集理论和方法、粗糙集理论和方法都非常有效,其理论得到了不断发展和完善,其应用得到了很好的实践和推广.20世纪80年代末和90年代初粗糙集在知识发现等领域得到了成功的应用而越来越受到国际上的广泛关注.1991年Pawlak教授的第一本关于粗糙集的专著《RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData》的出版,推动了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究.2001年5月在重庆召开了“第1届中国Rough集与软计算学术研讨会”,邀请了创始人Pawlak教授做大会报告.刘清等探讨了粗糙集在近似推理、模态逻辑和智能代理方面的理论研究情况,张文修、吴伟志、梁吉业等人提出了基于随机集的粗糙集模型,并研究了粗糙集理论同包含度理论之间的关系.目前,粗糙集理论与神经网络、演化计算、模糊系统及混沌系统一起被公认为人工智能的五大新兴技术,在智能信息处理的诸多领域,如决策分析、机器学习、数据挖掘、模式识别等,获得了广泛的应用.通过知识的简化与知识依赖性分析,完全由已知数据导出决策规则.但在实际的决策问题中大量存在着属性值为模糊的情况,为此有学者提出将粗糙集与模糊集相结合的方法,当条件属性值为确定值而决策属性值为模糊时提出了粗糙模糊集,而当条件属性值与决策属性值均为模糊值时,则提出了模糊粗糙集.模糊粗糙集是用模糊等价关系代替不可分辨关系,将对象分成模糊等价类.这种模糊粗糙集是建立在模糊等效关系上的.但是,当系统中出现噪声或随机干扰时,模糊等效关系显得过于严格.粗糙集理论比较出色地处理了模糊和不完全知识,从而成为数据挖掘研究中的有利工具,特别是将其与机器学习、模式识别、数据库等理论相结合,开发了多个原型系统,26 其中有代表性的有Rosetta系统、KDDR系统、LERS系统等.Rosetta是波兰华沙大学和挪威科技大学联合开发的基于粗糙集理论框架的知识发现和数据挖掘软件系统,它包含了从数据的预处理、约简计算、规则生成到规则的评价和分析的知识发现全过程.KDDR系统是由加拿大Regina大学开发的基于可变精度粗糙集模型的知识发现系统,已成功用于医疗数学分析、金融决策等邻域.LERS系统是美国Kansas大学开发的基于粗糙集的实例学习系统,已被用于医学研究、气候预测、环境保护等.正是这些系统的成功开发与应用使得粗糙集理论与应用的研究在国际上日益受到广泛的关注.由于粗糙集理论分析处理不精确、不协调和不完备信息,因此作为一种具有极大潜力的有效的知识获取工具受到了人工智能工作者的广泛关注.目前,粗糙集理论已被成功应用在机器学习和知识发现、数据挖掘、决策支持和分析、过程控制、模式识别等计算机领域,该理论已成为计算机和信息科学的研究热点之一.1.2粗糙集理论的基本概念及核心基础数据集有精确集和粗糙集之分,粗糙集是指数据集中的数据符合同一特征描述而又分别属于不同概念.基本粗糙集理论认为“概念”即是对象的集合,“知识”是将对象进行分类的能力,每一被划分的集合称为概念.粗糙集理论的主要思想是不精确的概念(被近似集)被可利用的知识库中的已知知识(近似空间中的可定义集全体)来近似描述.粗糙集理论与应用的核心基础是从近似空间导出的一对近似算子,即上近似算子和下近似算子,这一对近似算子是粗糙集理论与应用研究的基础.公理化方法的基本要素是满足某些公理集的近似算子,即粗糙集代数系统是事先给定的,然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性方法定义的近似算子及其导出的粗糙集代数系统恰好就是事先给定的近似算子和粗糙集代数系统.这种粗糙集代数系统是由集合代数系统中的三个集合算子(交、并、补)加上两个粗糙算子(上、下近似算子)而形成的,这些算子非常相似于模态逻辑中的五个模态算子.1.3论文的组织结构本文我们主要研究基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.首先,回顾了经典集合与经典二元关系的基本概念和性质,介绍了一般关系下的粗糙集合的定义和性质.其次,介绍了邻域算子与二元关系之间的联系,讨论了邻域算子的性质.最后,定义了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子,研究了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质.并证明可以用基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.26 2经典集合与二元关系2.1经典集合的定义与性质我们把被讨论的全体对象或范围叫做论域,常用,,,,,,大写字母表示.把论域中的每个对象称为元素,用相应的小写字母,,,,,,表示.定义2.1给定论域和某一性质,中满足性质的所有元素所组成的全体叫做集合(也称经典集合),简称集.集合中部分元素组成的集合称为的子集.不含论域中任何元素的集合称为空集,记为.定义2.2集合的所有子集作为元素组成的集合称为的幂集.记做.定义2.3经典集合的表示法(1)列举法:;(2)描述法:;(3)归纳法:用递归定义描述集合（略）;(4)特征函数法:设为论域,,定义函数,则称为集合的特征函数.用特征函数表示集合的方法称为集合的特征函数表示法.定义2.4设,为任意集合.(1)称为与的并集,定义为,称为并运算.(2)称为与的交集,定义为,称为交运算.(3)称为与的差集,定义为26 ,称为差运算.(4)称为的补集,定义为,称为补运算,它是一元运算,是差运算的特例.2.2经典二元关系的定义与性质定义2.5称为集合到上的元关系(n-aryrelations),如果是的一个子集.若时,则称为上的元关系.当时,称为从到的二元关系.若时,则称为上的一个二元关系.定义2.6设是集合上的二元关系,如果对于每个,都有,那么称二元关系是自反的,即在上是自反的.定理2.1设是上的二元关系,则在上是自反的当且仅当.定义2.7设是集合上的二元关系,如果对于每个,都有,那么称二元关系是反自反的,即在上是反自反的.定理2.2设是上的二元关系,则在上是反自反的当且仅当.定义2.8设是集合上的二元关系,如果对于每个,当,就有,那么称二元关系是对称的,即在上是对称的.定义2.9设是集合上的二元关系,如果将中每序偶的第一元素和第二元素的顺序互换,所得到的集合称为的逆关系,记为,即26 .定理2.3设是上的二元关系,则在上是对称的当且仅当.定义2.10设是集合上的二元关系,如果对于每个,,当和时,必有,那么称二元关系是反对称的,即在上是反对称的.定理2.4设是上的二元关系,则在上是反对称的当且仅当.定义2.11设是集合上的二元关系,如果对于任意,,,当,,就有,那么称二元关系是传递的,即在上是传递的.定义2.12设是上的二元关系,若是上的自反、对称、传递的二元关系,则称是等价关系.定义2.13设是上的二元等价关系,对于任何,集合,称为元素形成的等价类.定理2.5设是上的二元等价关系,对于,有当且仅当.定义2.14若是上的二元关系,且对于任意,存在,使得,则称是上的串行关系.定义2.15若是上的二元关系,且对于任意,,,有,则称是欧几里得的;26 定理2.6是上的二元关系,若是自反且欧几里得的,则是对称的.定理2.7是上的二元关系,若是自反且欧几里得的,则是传递的.定理2.8是上的二元关系,若是传递且对称的,则是欧几里得的.定理2.9是上的二元关系,若是欧几里得且自反的当且仅当是等价的.26 3一般关系下的粗糙集3.1模糊集的定义和性质定义3.1设在论域上给定了一个映射,,.则称为上的模糊(Fuzzy)集,称为的隶属函数(或称为属于的隶属度).正如集合完全由特征函数所刻画一样,模糊集也完全由隶属函数所刻画.特别当时,便蜕化为一个经典集合的特征函数,于是便蜕化为一个经典集合.因此,(经典)集合是模糊集的特殊情况.记论域上的模糊子集的全体为.定义3.2设,规定模糊集之间的包含,相等,交,并,以及补集运算如下,,且,,,,,,.任给,,由于,,,故对任意,有,,.规定:“”表示“取最大”或“取上确界sup”;“”表示“取最小”或“取下确界sub”.一般的模糊集,的交、并、余运算,按论域的有限与无限,26 分为以下两种情况表示:(1)设论域是一个有限集,且模糊集,,则,,.(2)设论域为无限集,且模糊集,,则,,.定义3.3设,,为指标集.对任意,且,,称为的并集,为的交集.显然,,.26 定理3.1具有如下性质(1)幂等律,.(2)交换律,.(3)结合律,.(4)吸收律,.(5)分配律,.(6)零-壹律,;,.(7)复原律.(8)对偶律,.3.2一般关系下的粗糙集定义3.4设论域是一个有限的非空集合.论域的子集的全体记为.这里用标记的补集.设是一个任意的从到的经典关系.我们可以定义一个集值函数:,,.称为在关系下的后继邻域.显然,任何从到的集值函数定义了一个从到的二元关系.定义3.5如果是一个从到的经典关系,那么三元组是被称为广义近似空间.对于任意的,的关于的上近似和下近似,记为和,定义如下,(3.1).(3.2)近似序对被称为广义经典粗糙集合,而且和:分别被称为广义上下经典近似算子.从以上的定义出发,以下的定理可以很容易地被导出.26 定理3.2对于任意的从到的关系,它的上近似算子和下近似算子满足以下的性质:对于所有的,,有(L1),(U1);(L2),(U2);(L3),(U3);(L4),(U4);(L5),(U5).相对应于某些特定的特殊类型关系,也就是说,在论域上的串行的,自反的,对称的,传递的和欧几里德的二元关系,近似有更多的性质.定理3.3设是上的一个经典二元关系,而且和是由式子(3.1)和(3.2)定义的广义上下经典近似算子.那么(1)是串行的(L0),（U0）,(LU0),.(2)是自反的(L6),,(U6),,(3)是对称的(L7),,(U7),,(4)是传递的(L8),,(U8),,(5)是欧几里德的(L9),,(U9),,26 如果是上的等价关系,那么称为Pawlak近似空间,而且可以导出更多的上下近似算子的性质.26 4粗糙模糊近似的构造性定义与性质在这一章节,我们回顾粗糙模糊近似算子的构造性定义而且给出了粗糙模糊近似算子的基本性质.4.1粗糙模糊近似的定义粗糙模糊集合是通过一个模糊集合关于经典近似空间的近似而获得的.定义4.1设和是两个有限的非空论域而且是一个从到的经典二元关系.对于任意的集合,模糊集合关于经典近似空间的上下近似和,分别定义为,(4.1),.(4.2)序对被称为广义粗糙模糊集合,而且和:分别被称为广义上粗糙模糊近似算子和广义下粗糙模糊近似算子.如果,那么我们可以得出当且仅当;当且仅当.当模糊粗糙集合退化成一个经典集合时定义4.1可以退化到定义3.5.4.2粗糙模糊近似的性质由定义4.1,我们可以得到粗糙模糊近似算子的性质.定理4.1由式子(4.1)和(4.2)定义的上粗糙模糊近似算子和下粗糙模糊近似算子,满足以下性质,,(FL1),(FU1),(FL2),(FU2),(FL3),(FU3),(FL4),(FU4),26 (FL5),(FU5),这里是常数模糊集:对于所有的,有.性质(FL1)和(FU1)显示了粗糙模糊近似和具有对偶性质.具有相同数字编号的性质可以认为是对偶的.显然,性质(FL2)和(FU2)蕴含了以下的性质(FL2)’,(FU2)’.的文献中,一个串行的粗糙模糊集合模型将从一个串行的二元关系中获得.串行关系的性质可以由它导出的粗糙模糊近似算子的性质所刻画.定理4.2如果是一个任意的从到的经典关系,而且和是由式子(4.1)和(4.2)定义的粗糙模糊近似算子,那么是串行的(FL0),(FU0),(FL0)’,,(FU0)’,,(FLU0),.证明首先由对偶性可知(FL0)’(FU0)’(FL0).其次,(FL0)’(FL0)为显然.若(FL0)成立,则在性质(FL2)中取即得性质(FL0)’.另一方面,将经典集看成一个特殊的模糊集,是串行的,,从而定理得证.通过性质(FLU0),串行的粗糙集合模型的粗糙模糊近似算子对是一个区间结构.以下定理刻画了其它特殊经典关系与粗糙模糊近似算子之间的联系.26 定理4.3假定是上的二元经典关系,而且和是由式子(4.1)和(4.2)定义的粗糙模糊近似算子,那么(1)是自反的(FL6),,(FU6),,(2)是对称的(FL7),,(FU7),,(FL7)’,,(FU7)’,,(3)是传递的(FL8),,(FU8),,(4)是欧几里德的(FL9),,(FU9),.证明(1)由粗糙模糊近似算子的对偶性知(FL6)与(FU6)是等价的.“充分性”取,即可得(FL6)是自反的;(FU6)是自反的.“必要性”由，.即,得到.由，,即,得到.从而由是自反关系可以推出(FL6)和(FU6).(2)由粗糙模糊近似算子的对偶性知(FL7)与(FU7),(FL7)’与(FU7)’分别是等价的.“充分性”取,即可得(FL7)是对称的;(FU7)是对称的“必要性”若是对称关系,用反证法来证是对称关系(FL7).若(FL7)不成立,则存在和,使26 于是存在,使对于任意有.由于是对称的,因此由,可得,这样就有,矛盾,从而由的对称性可推得(FL7)成立.是对称的(FL7)’(FU7)’.(3)由粗糙模糊近似算子的对偶性知(FL8)与(FU8)是等价的.“充分性”取,即可得(FL8)是传递的;(FU8)是传递的.“必要性”充分性的证明与(1)的证明过程类似.(4)由粗糙模糊近似算子的对偶性知(FL9)与(FU9)是等价的.“充分性”取,即可得(FL9)是欧几里德的;(FU9)是欧几里德的.“必要性”只须用反证法证明是欧几里得关系(FU9).若(FU9)不成立,则存在和使,即从而存在存在使对于任意有.但由于是欧几里得关系,从而由与可得,这样便推出的矛盾结论.故(4)得证.26 5粗糙模糊近似的公理化刻画在公理化的过程中,粗糙集被抽象的近似所刻画描述.对于粗糙模糊集的情况下,原始的概念是一个系统,这里和是的一元运算.在这一章节中,我们证明了粗糙模糊近似算子可以由公理刻画.定义5.1设,:的两个算子.,称为对偶算子,如果对于所有的满足以下性质(fl1),(fu1).定理5.1设,:是对偶算子.那么存在一个从到的经典二元关系使得对于所有的有,.当且仅当满足公理(flc),(fl2),(fl3),或者等价地满足公理(fuc),(fu2),(fu3),(flc),,(fl2),,,(fl3),,,(fuc),,(fu2),,,(fu3),,,这里是指单点集的特征函数.证明必要性的证明必要性可由粗糙模糊近似算子的构造性定义4.1和定理4.1即得.充分性的证明若满足公理(fuc),(fu2),(fu3).由公理(fuc)并利用,我们定义从到上的二元经典关系如下:26 ,.显然,,.对于任意,注意到.这样对于任意,由的定义,公理(fuc)和(fu3)得.从而由的任意性得.由对偶性可得.证毕.根据定理5.1,公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3),或者等价地,公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3).被看作粗糙模糊近似算子的基本公理.这些公理导出了以下的粗糙模糊集合代数的定义.定义5.2设,:的两个算子.如果满足公理(flc),(fl2),(fl3),或者等价地满足公理(fuc),(fu2),(fu3),那么系统被称为一个粗糙模糊集合代数,这种情况下,如果存在一个上的串行的（自反的,对称的,传递的,欧几里德的,等价的）关系使得对于有和,那么被称作为串行的（自反的,对称的,传递的,欧几里德的,Pawlak）粗糙模糊集合代数.串行的粗糙模糊集合代数的公理化刻画可以用以下的定理描述.定理5.2设是粗糙模糊集合代数,换言之,满足公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3),而且满足公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3),26 那么它是一个串行的粗糙模糊集合代数当且仅当下列等价公理之一成立(fl0),,(fu0),,(fl0)’,(fu0)’,(flu0)’,.证明由定理5.1和定理4.2得(fl0)和(fu0).再由定理4.2可得(fl0)’,(fu0)’和(flu0)’.定理5.2中(flu0)’陈述了是的模糊子集.,:称为上下粗糙模糊算子,而且系统是一个区间结构.其他类型的粗糙模糊集合代数的公理化刻画可以用以下的定理5.3,定理5.4,定理5.5和定理5.6来描述.定理5.3假设是一个自反的粗糙模糊集合代数当且仅当下列等价公理之一成立(fl6),,(fu6),.证明由定理5.1和定理4.3的(1)可得.定理5.4假设是一个对称的粗糙模糊集合代数当且仅当下列等价公理之一成立(fl7),,(fu7),,(fl7)’,,(fu7)’,.证明由定理5.1和定理4.3的(2)可得.定理5.5假设是一个传递的粗糙模糊集合代数当且仅当下列等价公理之一成立26 (fl8),,(fu8),.证明由定理5.1和定理4.3的(3)可得.定理5.6假设是一个欧几里德的粗糙模糊集合代数当且仅当下列等价公理之一成立(fl9),,(fu9),.证明由定理5.1和定理4.3的(4)可得.定理5.7假设是一个粗糙模糊集合代数,那么当它是一个Pawlak的粗糙模糊集合代数当且仅当满足定理(fl6),(fl7)和(fl8)或者等价地满足定理(fu6),(fu7)和(fu8).26 6基于邻域系统的粗糙模糊近似关于粗糙近似运算与邻域系统两者之间的关系的研究已经进行了很多年.在文献中,探索解释1步邻域运算和粗糙模糊近似的关系.和在文献阐述了在-步邻域系统下的广义粗糙近似运算.在这一节中,我们研究粗糙模糊近似与-步邻域系统之间的关系.定义6.1对于上的一个二元关系和正整数,定义的-步关系如下:,存在,,…,,1,使得,,…,,.容易得到存在,,…,,使得,,…,.显然,,当所有的时,（事实上,就是上的传递闭包）.当然,是传递的.定义6.2设是上的一个二元关系,对于两个元素,和,如果,那么我们可以称是-相关于,是的-前驱,是的-后继.的所有-后继的集合标记为,也就是说;也被称为的-步邻域.我们可以得出是一个的邻域系统,而且是一个-步邻域系统.-步邻域系统是关于单调递增的.对于两个关系和,有对于所有的,.特别地,对于所有的和所有的26 .易见,.显然,,,,这里.易证,对于所有的,,.而且如果是欧几里德的,由文献知,对于所有的,.特殊类型的二元关系与由其诱导出来的-步关系之间的联系可以总结为如下.定理6.1假设是上的任意一个二元关系,那么(1)是串行的对于所有的，是串行的;(2)是自反的对于所有的，是自反的;(3)是对称的对于所有的，是对称的;(4)是传递的对于所有的，是传递的,而且;(5)是欧几里德的对于所有的，是欧几里德的.定义6.3设论域上的一个任意关系,对于任何和,我们可以定义一对在-步邻域系统上的的上下近似如下:,.特别地,和称为-步上下近似算子.26 通过文献,易见一个二元关系的性质能被多步近似算子的性质等价地刻画.定理6.2设是上的任意一个二元关系,那么(1)是串行的(KNL0),,(KNU0),,(KNLU0),,,(2)是自反的(KNL6),,,(KNU6),,,(3)是对称的(KNL7),,,(KNU7),,,（4）是传递的(KNL8),,,(KNU8),,,(5)是欧几里德的(KNL9),,,(KNU9),,.定义6.4设论域上的一个任意经典二元关系,对于任何和,我们可以定义一对在—步邻域系统上的的上下粗糙模糊近似如下:,,,.特别地,和是被称为—步上下粗糙模糊近似算子.如果,易见(1),,(2),.结合定理4.3,定理6.1,定理6.2,我们可以得到以下定理6.3.26 定理6.3假设是上的任意一个经典二元关系,那么(1)是串行的(KFL0),,(KFU0),,(KFLU0),,(KFL0)’,,,(KFU0)’,,,(2)是自反的(KFL6),,,(KFU6),,,(3)是对称的(KFL7),,,(KFU7),,,(4)是传递的(KFL8),,,(KFU8),,,(5)是欧几里德的(KFL9),,,(KFU9),,.证明(1)由于是串行的当且仅当对于任意,也是串行的,再由定理4.2得(1)成立.(2)由定理4.1和定理4.3可得.(3)必要性的证明由于是对称的当且仅当对于任意,也是对称的,从而由定理5.1我们有,,.注意到,从而,.这样我们得到了(KFL7).再由粗糙模糊近似算子的对偶性得(KFU7).26 充分性的证明令，则由定理5.1知是对称的.(4)由定理4.1和定理5.2可得.(5)必要性的证明由于是欧几里德的当且仅当对于任意,也是欧几里德的，从而由定理5.3我们有,,.注意到，从而,.这样我们得到了(KFL9).再由粗糙模糊近似算子的对偶性得(KFU9).充分性的证明令，则由定理5.3知是欧几里德的.26 7小结本文我们主要研究基于邻域算子系统的粗糙模糊近似.首先,回顾了经典集合与经典二元关系的基本概念和性质,介绍了一般关系下的粗糙集合的定义和性质.其次,介绍了邻域算子与二元关系之间的联系,讨论了邻域算子的性质.最后,定义了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子,研究了基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质.并证明了可以用基于邻域算子的粗糙模糊近似算子的性质去刻画邻域算子的性质.26 参考文献[1]Pawlak.Z.RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.[2]张文修,吴伟志,梁吉业等.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[3]程昳,莫智文.粗糙模糊集的分解定理及表现定理[J].四川师范大学学报(自然科学版),2001,24(1):29~31.[4]杜卫锋,孙士保.模糊粗糙集的表示定理[J].南交通大学学报,2005,40(1):118~121.[5]罗世尧.粗糙模糊集的性质[J].乐山师范学院学报,2005,5:18~19.[6]何新贵.模糊知识处理的理论与技术[M].北京:国防工业出版社,1998.[7]汪诚义.模糊数学引论[M].北京:北京工业大学出版社,1988.[8]青义学.模糊数学入门[M].西安:知识出版社,1987.[9]李洪兴,汪群等.工程模糊数学方法法及应用[M].天津:天津科学技术出版社,1993.[10]王元元,张桂芸.离散数学导论[M].北京:科学出版社,2007.[11]贾振华,王学军,贾建文,郭辉.离散数学[M].北京:中国水利水电出版社,2004.[12]徐优红.二元关系的复合与近似算子的合成[J].计算机科学,2009,36(2):194~198.[13]Kerre.EtienneE.FuzzySetsandApproximateReasoning(EnglishEdition)[M].西安:西安交通大学出版社,1999.[14]李洪兴,汪培庄.模糊数学[M].北京:国防工业出版社,1994.[15]杨纶标,高英仪.模糊数学原理及应用[M].广州:华南理工大学出版社,2005.[16]Zadeh,LA.ProbabilityMeasuresofFuzzyEvents[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1968,23:421~427.[17]YaoYY.ConstructiveandAlgebraicMethodsoftheTheoryofRoughSets[J].JournalofInformationSciences.1998,109:21~47.[18]YaoYY.GeneralizedRoughSetModel[C].In:PolkowskiL,SkowronAEd.RoughSetsinKnowledgeDiscovery1.MethodologyandApplications.Heidelberg:Physica-Verlag,1998:286~318.[19]YaoYY.RelationalInterpretationsofNeighborhoodOperatorsandRoughSetApproximationOperators[J].InformationSciences,1998,111:239~259.[20]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationScience,1982,26 11:341–356.[1]PawlakZ.RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.[2]DuboisD,Prade,H.RoughFuzzySetsandFuzzyRoughSets[J].InternationalJournalofGeneralSystems,1990,17:191~208.[3]WuWZ,ZhangWX.ConstructiveandAxiomaticApproachesofFuzzyApproximationOperators[J].InformationSciences,2004,159:233~254.[4]YaoYY.CombinationofRoughandFuzzySetsbasedonα-levelSets[C].In:LinTY,CerconeNEds,RoughSetsandDataMining:AnalysisforImpreciseData.Boston:KluwerAcademicPublishers,1997:301~321.[5]YaoYY.TwoViewsoftheTheoryofRoughSetsinFiniteUniverses[J].InternationalJournalofApproximateReasoning,1996,15:291~317.[6]MiJS,ZhangWX.AnAxiomaticCharacterizationofAFuzzyGeneralizationofGoughSets[J].InformationSciences,2004,160:235~249.[7]YaoYY.RelationalInterpretationsofNeighborhoodOperatorsandRoughSetApproximationOperators[J].InformationSciences,1998,111:239~259.[8]WuWZ,ZhangWX.NeighborhoodOperatorSystemsandApproximations[J].InformationSciences,2002,144:201~217.26