指、对函数的交点

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1、指、对函数的交点本文研究了我们熟悉的指数函数与对数函数的图象交点问题，我们都知道同一底数的指数与对数函数互为反函数，如果它们有交点（不是公共点），我们一般认为它们应该在直线y二x上。这几乎是无可厚非的。本文通过几何画板的直观演示，可以发现，同一底数的指、对函数它们有交点，可以不在直线y二x上。这在传统教学看来几乎是一个匪夷所思的问题。但是，运用现代教育技术可以清楚得观察同一底数的指、对函数的图象从没有交点，到一个交点，到两个交点，再到一个交点，最后到三个交点的全过程。对于指数函数与对数函数的交点问题，教材上的观点是它们可能没有公共点（如图一），可能有一个公共点（如图二、

2、三），可能有两个公共点（如图四）。这从指、对函数图象上很容易发现其正确性。但是，实际上，指对函数可以有三个交点，下面先举一例验证之。2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文史类)第15题：在P(1,1),Q(1,2),M(2,3)和N(1/2,1/4)四点中，函数y=H的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点A・PB・QC・MD・N这一题答案是D。初思之，感觉应该是P,细思之，则不可能，如果x=l,y=l,则此时底数a必为1,故不可能是P。可以求得N(1/2,1/4)可能在指数函数尸H和它的反函数上，代入尸H可知a=l/16o下面就这一函数来研究一下,对

3、同一底数的指数函数与对数函数的交点问题作一详细论证。指数函数y=(l/16『与对数函数y=logl/16x,因为它们互为反函数,且两个都是单调递减函数，所以它们显然有一个公共点在直线y=x上(如图三所示)，另外，A(1/2,1/4),B(1/4,1/2)也同时满足这函数y=(l/16)x,与函数y=log1/16x,这说明A,B必是指数函数y=(l/16)x与对数函数y=logl/i6x的图象的交点。这样看来，指数函数、对数函数是可以有三个交点的。本例便可以说明。但是，互为反函数的两个函数如何会出现三个公共点呢？它们是一种什么样的关系呢？这似乎又有点匪夷所思，图象该如何

4、画呢？。下面不妨利用几何画板，以同一底数的指、对函数图象为例，来看一下它们有三个交点的情况，以及它们的公共点是如何变化的。在几何画板中，任取一线段AB,度量出AB的长度a,就以a为指数函数与对数函数的底数，在几何画板中，将线段当a由a>l逐渐缩小到aVl时，我们可以观察到指、对函数没有交点，一个交点，两个交点，再到一个交点的过程，如上面的图象所示非常显然。让a继续缩小，大约a=0.03时，“奇迹”出现了，指、对函数的图象这是我们始料不及的，很多资料上，甚至教材上都说过指、对函数图象可以没有交点，可以有一个交点，可以有两个交点，但是，利用几何画板可以演示出很多原先我们想象

5、不到的结果,本结论就是一例。运用现代教育技术尤其是在研究那些有图象的问题，它比传统教学要方便得多。传统教学画出的图象只能是“死的”，而运用现代教育技术可以在运动过程中研究图象之间的关系，变化规律，使学生更容易发现规律，增强了趣味性。