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1、例］:已知/(——)=2x+l,求/&)•x+l例2：已知/(兀+丄)=/+A，求/(兀)XX例3.已知/(X)—次实函数,且/(x+l)+/(x-1)=x2+2x+4,求/&)•例4.已知y*(x)为奇函数，当x>0时，/(x)=lg(x+l),求.f(x)例5•已知/⑴为偶函数,g(Q为奇函数,且有/(x)+g⑴二丄，求f(x),g(x).x-1例6：设几兀)的定义域为自然数集,且满足条件/(x+l)=/(x)+/(y)+Ay,及门1)二1,求念)例7已知/(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切
2、实数兀、y都成立,且/(0)^0,求证f(x)为偶函数。例8：奇函数/(兀)在定义域(-1,1)内递减,求满足/(l-m)+/(l-m2)<0的实数加的取值范围。例9：如果f(x)=ax2+bx+c对任意的/冇/(2+0=/2-0,比较于⑴、/(2)、于(4)的大小五类抽象函数解法例1、已知函数f(%)对任意实数x,y,均有f(%+y)(t)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=一2,求f(x)在区间［一2,1］上的值域。例2、已知函数f(%)对任意x’y'R,满足条件f(力+f(y)=2+f(x+
3、y),且当x>0时，fdx)>2,f(3)=5,求不等式/(/-2住-2)<3的解。例3、设函数fCx)的定义域是(一I+-),满足条件：存在心工乃，使得了(心)工/(勺),对任何x和y,/(OS)")成立。求；(1)r(0)；(2)对任意值x,判断r(%)值的正负。例5、设f(力是定义在(0,+2上的单调增函数，满足伦沪畑75/⑶T求：(1)f(1)；(2)若f(Q+f(x—8)W2,求x的取值范围。例6、设函数y=fCx)的反函数是y=g(%)o如果fJab)=fIa)+f(b),那么gCa+b)=g(a)・
4、£(方)是否止确，试说明理由。例7、［2知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(—1)=1,f(27)=9,当OU时，/(x)u［O」)。(1)判断(2)判断/*(%)的奇偶性；在［0,+-)上的单调性，并给出证明；(3)若a"且/G+l)《的，求日的取值范围。一、定义域问题例1・已知函数/(x2)的定义域是［1,2］,求f(x)的定义域。例2・已知函数/⑴的定义域是[-1,2],求函数/[log,(3-x)]的定义域。2二、求值问题例3・已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条
5、件：①/(2)=1,/(6)=-；②f(x-y)=/(x)+/(y),求f(3),f(9)的值。三、值域问题例4・设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在兀严七，使得/(州)工/(>2)，求函数/(兀)的值域。四、解析式问题Y—1X、/(x)+/(——)=l+x例5・设对满足"0,兀工1的所冇实数x,函数门兀)满足兀，求f(X)的解析式。五、单调性问题例6.设f(x)定义于实数集上，当兀〉0时，/(x)>1,且对于任意实数X、y,有/(x+y)=/W-f(y)
6、^求证：/(兀)在R上为增函数。六、奇偶性问题例7.□知函数/(x)(xG/?,XHO)对任意不等于零的实数X
7、、兀2都有/(x1-x2)=/ui)+/(x2),试判断函数f(X)的奇偶性。七、对称性问题例&已知函数y=/(兀)满足/(X)+/(-%)=2002,求广心)+厂(2002-兀)的值。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总冇/(m+n)=/(m)-/(n),且当x>0时,0/
8、⑴}，B={(x,y)Ij+V2)=1,aeR}9若Ap)B=0,试确定a的取值范围。含有函数记号“/(兀)”*关问题解法一、求表达式：1•换元法：即用屮间变量表示原自变量兀的代数式，从而求出/(x),这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。Y例［:已知/(——)=2x+l,求/(兀)・X+1解：设亠二"，贝IJ兀二旦・・・/(町=2丄+1=口X+1i—u—u—u••/(A)—2-xTZT2•凑合法:在已知于(g⑴)"⑴的条件下，把％(兀)并凑成以g(Q表示的代数式,再利用代换即可
9、求/(%).此解法简洁，述能进一步复习代换法。例2：已知/(兀+丄)=，+丄，求/⑴解：・・・/(x+-)=(x+-)(x2-l+-!T)=U+-XU+-)2-3)XVIx+-l=lxl+—>1XXX"XXXIXI/(x)=x(x2-3)=x3-3x,(
10、兀
11、Ml)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3.已知f(x)二次
