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1、（补充）例1例2aa+1/kf(x)第三节对等与基数第一章集合定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y或：设X,Y是两个非空集合，f是X×Y的子集，且对任意x∈X，存在唯一的y∈Y使(x,y)∈f，则f是从X到Y的一个映射注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）１映射的定义[]例注：模糊集：参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh2、实数的加法运算+:R
2、×R→R(群,环,域)1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射(函数,泛函,算子,变换)3、集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称为集A的特征函数，证明的过程略2集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略3对等与基数1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,
3、4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4Bernstein定理Bernstein定理的证明fλBernstei
4、n定理的证明证明:ABgfBernstein定理的证明ABggfffABfgffgBernstein定理的证明Bernstein定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例)
