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1、实变函数讲稿（第2讲）教学内容：(1)域与σ−域；(2)集合的势详细教案：第一章集合1.3域与σ−域定义2假设S是一个集合，F是以S的子集为元素的集合（S的一个子集族）.如果F满足下列条件:(D1)∅∈F；(D2)若A∈F,则CA∈F；s(D3)若A,B∈F，则AB∪∈F.则称F是S上一个域（或代数）.∞如果F还满足条件：若An∈F（∀n∈`），则∪An∈F，则称F是Sn=1上一个σ−域（或者σ−代数）命题1，设S是一个非空集合，则下列各命题成立(1)F={AA⊂S}是S上一个σ−域；1(2)二元域F=∅{,S}是S上一个σ−域.2注意：未必集合S的所有子集族都构成S上的
2、σ−域（σ−代数），例如：S={1,2,3,4,5}，S的子集族F={{1,2},{2,3},{3,4,5}}不是S的一个代数.问题1，对于集合S的任何子集族A是否一定能够生成S上的一个σ−代．．数？也就是说：对于集族A，是否一定存在S上的一个包含A的最小代数．．σ−FA()？即，也就是说：是否一定存在S上的一个σ−代数FA()，满足下列两个条件：(i)A⊂FA()；(ii)任何包含A的σ−代数F，都有FA()⊂F.注：满足上面(i),(ii)的σ−代数，称为包含A的最小σ−代数.下面定理肯定的回答了上述问题：定理3.假设A是S的一个子集族，则第2讲██FA()=∩{FF
3、⊃A，F是S上的σ−代数}是包含A的最小σ−代数，并且包含A的最小σ−代数都是唯一的.证：(1)FA()是S上的一个σ−代数.设F是S上的任意一个σ−代数，则∅∈F.所以,∅∈FA().对于∀∈AFA()，因为对于S上的任何σ−代数F：FA⊃有A∈F，从而CA∈F.s故CA∈FA()；∀A,B∈FA()，则对于S上的σ−代数F：F⊃A，有sAB∪∈F，故AB∪∈FA().从而，FA()是S上的一个代数.∞又对于任何集列{}A⊂FA()，对于任何σ−代数F：F⊃A，有nn=1∞∞∞{}Ann=1⊂F，所以∪An∈F，故∪An∈FA().从而,FA()是一个σ−代n=1n=1
4、数.(2)FA()的最小性.**如果F是S上一个包含A的最小σ−代数.因为F⊃A并且是σ−代***数，由FA()的定义，有FA()⊂F.再由F的最小性，有FA()=F.□§2集合的势2.1势的定义与Bernstein定理一．势的定义定义1假设A,B是两个集合，如果存在一个映射ϕ:A→B满足下列二条件：(A1)ϕ()A=B，即∀y∈B，∃x∈A，使得ϕ(x)=y；(A2)∀x,y∈A,若x≠y，则ϕ(x)≠ϕ(y).这时，我们称ϕ是A与B之间的一个一一对应.如果集合A与集合B之间存在一个一一对应，则称A与B是对等的，或者称A与B有相同的势（或基数），记作A∼B或者AB=.二
5、．对等的基本性质命题设A，B，C是任意的三个集合，则下列各条成立.7▉▉实变函数讲稿1)自反性:A∼A;2)对称性:A∼B,则B∼A;3)传递性:若A∼B，B∼C,则AC∼.例1证明：`∼]（即，自然数与整数一样多）.证明：作映射ϕ:`→]，其中：对于∀m∈`.当m=2n时，ϕ(2nn)=；当m=2n+1时，ϕ(21nn+)=−.则ϕ:`→]是一个一一对应.事实上，∀∈mm,`，m≠m○1当m与m一奇一偶时，显然121212ϕ()m1≠ϕ(m2)，○2当m1、m2都是偶数时，即mn11=2，m2=2n2时，因为m≠m，所以n≠n.所以ϕ(mn)=≠n=ϕ(m)；○3当m、
6、m同为奇数1212112212时，也有ϕ()mm1≠ϕ(2).故ϕ是一个单射.现在证：ϕ是一个满射.∀n∈]，当n;0时，∃mn=2∈`；使得ϕϕ()m==(2n)n.当n=0时ϕϕ(12)=(i0+1)=0，当n≺0时，**∃=mn2()−+1∈`，有ϕϕ(mn)=(21(−+))=−(−n)=n从而，ϕ是一个一一对应.于是，`=Z.□11例2.`与不对等，即`≠111证明：（反证法）如果`=，即`与之间存在一个一一对应ϕ:`→.对于∀∈n`，记ϕ(n)=r，则n1`==ϕ(){rr12,,",rn,"}(*)1∞现在我们用闭区间套定理来证明：∃α∈使得α
7、∉{}r.从而，与(*)式nn=1矛盾.1事实上，对于实数r，我们在上能取到一个闭区间I=[α,β]，其长度1111⎡1⎤I=βα−=1.使得r∉I，将I三等分，则在区间αα,+和111111⎢113⎥⎣⎦⎡⎤1β−,β中至少有一个区间⎢11⎥⎣⎦3不包含r，记这样的一个区间为2I22=[α,β2]，即r2∉I2，且8第2讲██1I=−=βα，又将I三等22223⎡⎤1分，则在αα,+与⎢⎥222⎣⎦3⎡⎤1β−,β中至少有一个区间不包含r，不妨记这样的一个区间为⎢2322⎥3⎣⎦1I33=[α,β3]，即r3∉I3，且I3
