2009年四川省雅安市中考数学试卷

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题列出的四个选项中，有且仅有一个是正确的是．1．（3分）（2009•雅安）如果a与3互为相反数，则是（　　）　A．3B．﹣3C．D．﹣2．（3分）（2009•雅安）在下面的图形中，不是正方体的展开图的是（　　）　A．B．C．D．3．（3分）（2009•雅安）下列运算正确的是（　　）　A．a3•a2=a6B．（a2b）2=a4b2C．（b3）3=b6D．a5÷a=a54．（3分）（2009•雅安）如图，AB∥CD，∠A=100°，∠D=25°，则∠AED=（　　）　A．80°B．105°C．100°D．75°4题8题16题5．（3分）（2009•雅安）已知单项式﹣3x2m﹣ny4与x3ym+2n是同类项，则mn的值为（　　）　A．B．3C．1D．26．（3分）（2009•雅安）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）　A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形7．（3分）（2009•雅安）在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为（　　）　A．75°B．105°C．60°D．45°8．（3分）（2009•雅安）已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠B=60°，则梯形ABCD的周长（　　）　A．8B．8C．10D．8+29．（3分）（2009•雅安）随意掷两枚均匀的相同骰子，面朝上的点数之和为10的概率是（　　）　A．B．C．D．10．（3分）（2009•雅安）在平面直角坐标系中，若点P（3，a）和点Q（b，﹣4）关于x轴对称，则a+b的值为（　　）　A．﹣7B．7C．1D．﹣111．（3分）（2009•雅安）甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（　　）　A．B．C．D．12．（3分）（2009•雅安）对于抛物线y=﹣4x+x2﹣7，有下列说法：①抛物线的开口向上．②对称轴为x=2．③顶点坐标为（2，﹣3）．④点（﹣，﹣9）在抛物线上．⑤抛物线与x轴有两个交点，其中正确的有（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将答案直接写在相应题的横线上．13．（3分）计算：20082﹣2009×2007=　_________　．14．（3分）（2009•雅安）已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|=　_________　．15．（3分）（2009•雅安）有4条线段长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中任取三条能构成三角形的概率为　_________　．16．（3分）（2009•雅安）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′．已知BC=cm，△ABC与△A′B′C′重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的，则△ABC平移的距离BB′是　_________　cm．17．（3分）（2009•雅安）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b=，例如：1⊕2=2，若（﹣2m﹣5）⊕3=3，则m的取值范围是　_________　．三、解答题：本大题共8小题，共69分．要求写出必要的解答过程或演算步骤．18．（10分）（2009•雅安）（1）计算：（π﹣3.14）0﹣2cos30°++（2）先化简代数式：（）•，然后选取一个合适的x的值，代入求值．19．（5分）（2009•雅安）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．．-18- 20．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．21．（8分）（2009•雅安）我市某校为了了解八年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）．根据提供的信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生人数，并补全频数分别直方图．（2）该样本的中位数在统计图的哪个范围内？（3）在统计图1中，求“身高在145～150cm部分”的扇形所对应的圆心角的度数．（4）如果该样本的平均数为159cm，方差为0.8；该校九年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么　_____　（填“八年级”或“九年级”）学生的身高比较整齐．　22．（8分）（2009•雅安）某学校计划购买若干电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费．其余每台优惠15%；乙商场的优惠条件是：每台优惠10%．（1）分别写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x（台）之间的关系式．（2）该学校选择哪家商场购买更优惠？23．（9分）（2009•雅安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点C（2，2），与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，且tan∠BAO=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式．（2）求一次函数与反比例函数图象的另一交点D的坐标．24．（10分）（2009•雅安）如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，∠ODC=30°．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若CA=6，求DC的长．25．（12分）（2009•雅安）如图，抛物线的顶点A的坐标（0，2），对称轴为y轴，且经过点（﹣4，4）．（1）求抛物线的表达式．（2）若点B的坐标为（0，4），P为抛物线上一点（如图），过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接PB．求证：PQ=PB．（3）若点C（﹣2，4），利用（2）的结论．判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在，请说明理由．　-18- -18- 2009年四川省雅安市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题列出的四个选项中，有且仅有一个是正确的是．1．（3分）（2009•雅安）如果a与3互为相反数，则是（　　）　A．3B．﹣3C．D．﹣考点：倒数；相反数．1434344专题：计算题．分析：根据倒数和相反数的定义直接解答即可．解答：解：∵a与3互为相反数，∴a=﹣3，则=﹣，故选D．点评：本题考查了相反数和倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；若两数只有符号不同，则称两数互为相反数．　2．（3分）（2009•雅安）在下面的图形中，不是正方体的展开图的是（　　）　A．B．C．D．考点：几何体的展开图．1434344分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．解答：解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D选项可以围成一个正方体，C选项折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．故选C．点评：此题主要考查了正方体展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．　3．（3分）（2009•雅安）下列运算正确的是（　　）　A．a3•a2=a6B．（a2b）2=a4b2C．（b3）3=b6D．a5÷a=a5考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．1434344分析：运用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、a3•a2=a5，故本选项错误；B、（a2b）2=a4b2，故本选项正确；C、（b3）3=b9，故本选项错误；D、a5÷a=a4，故本选项错误．故选B．点评：此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的运算法则．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．-18- 　4．（3分）（2009•雅安）如图，AB∥CD，∠A=100°，∠D=25°，则∠AED=（　　）　A．80°B．105°C．100°D．75°考点：平行线的性质．1434344分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠AED的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=100°，∴∠C=180°﹣∠A=80°，∵∠D=25°，∴∠AED=∠C+∠D=80°+25°=105°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题比较简答，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．　5．（3分）（2009•雅安）已知单项式﹣3x2m﹣ny4与x3ym+2n是同类项，则mn的值为（　　）　A．B．3C．1D．2考点：同类项．1434344专题：计算题．分析：根据同类项的定义得到2m﹣n=3，m+2n=4，然后解方程组，再把方程组的解代入mn进行计算即可．解答：解：∵单项式﹣3x2m﹣ny4与x3ym+2n是同类项，∴2m﹣n=3，m+2n=4，解方程组，得，∴mn=21=2．故选D．点评：本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫同类项．　6．（3分）（2009•雅安）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）　A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形考点：中心对称图形；轴对称图形．1434344分析：-18- 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析，即可选出答案．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；故选D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．　7．（3分）（2009•雅安）在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为（　　）　A．75°B．105°C．60°D．45°考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．1434344专题：计算题．分析：根据sinA=，∠A是锐角，可知∠A=60°，同理可得∠B=45°，结合三角形内角和定理可求∠C．解答：解：∵sinA=，∠A是锐角，∴∠A=60°，同理可得∠B=45°，∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，故选A．点评：本题考查了特殊三角函数值、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握30°、60°、45°这些特殊角的特殊三角函数值．　8．（3分）（2009•雅安）已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠B=60°，则梯形ABCD的周长（　　）　A．8B．8C．10D．8+2考点：等腰梯形的性质．1434344专题：探究型．分析：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，由梯形ABCD是等腰梯形可知，AE=CF，AD=EF，在Rt△ABE中根据BE=AB•cos60°可求出BE的长，进而得出BC的长，故可得出结论．解答：解：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，∵梯形ABCD是等腰梯形，AE=CF，AD=EF，在Rt△ABE中，∵BE=AB•cos60°=2×=1，∴BC=2BE+EF=2+2=4，∵AD∥BC，AD=AB=2，∴AD=AB=CD=2，∴梯形ABCD的周长=3AD+BC=3×2+4=10．故选C．-18- 点评：本题考查的是等腰梯形的性质及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出BE的长是解答此题的关键．　9．（3分）（2009•雅安）随意掷两枚均匀的相同骰子，面朝上的点数之和为10的概率是（　　）　A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．1434344专题：计算题．分析：求出抛掷两颗骰子的所有结果，列出点数和为10的所有结果，据概率公式求出向上点数和是10的概率．解答：解：从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，向上的点数之和为10的结果有：（4，6），（5，5），（6，4）共3种，所以，所求事件的概率为=，故选C．点评：本题考查列表法求等可能事件的概率，在列举时要有一定的规律、顺序，必须做到不重不漏，此题难度一般．　10．（3分）（2009•雅安）在平面直角坐标系中，若点P（3，a）和点Q（b，﹣4）关于x轴对称，则a+b的值为（　　）　A．﹣7B．7C．1D．﹣1考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．1434344专题：计算题．分析：由于两点关于x轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答．解答：解：∵点P（3，a）和点Q（b，﹣4）关于x轴对称，∴b=3，a=4，∴a+b=4+3=7，故选B．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．　11．（3分）（2009•雅安）甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（　　）-18- 　A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．1434344分析：若设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据关键语句“甲比乙早到15分钟”可得等量关系：乙走12千米所用的时间﹣甲走12千米所用的时间=15分钟，根据等量关系列出方程即可．解答：解：若设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，由题意得：15分钟=小时，﹣=．故选：D．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．　12．（3分）（2009•雅安）对于抛物线y=﹣4x+x2﹣7，有下列说法：①抛物线的开口向上．②对称轴为x=2．③顶点坐标为（2，﹣3）．④点（﹣，﹣9）在抛物线上．⑤抛物线与x轴有两个交点，其中正确的有（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质．1434344专题：探究型．分析：先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的图象与系数的关系、顶点坐标及二次函数图象上点的坐标特点对各小题进行逐一分析即可．解答：解：抛物线y=﹣4x+x2﹣7可化为y=（x﹣2）2﹣11的形式，①因为抛物线y=﹣4x+x2﹣7中，a=1＞0，所以抛物线开口向上，故本小题正确；②由抛物线顶点式可知，其对称轴方程是x=2，故本小题正确；③由抛物线顶点式可知，其顶点坐标是（2，﹣11），故本小题错误；④当x=﹣时，y=（﹣﹣2）2﹣11=﹣，故本小题错误．⑤因为△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，故本小题正确．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，根据题意把原式化为顶点式的形式是解答此题的关键．　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将答案直接写在相应题的横线上．13．（3分）计算：20082﹣2009×2007=　1　．考点：平方差公式．1434344分析：把2009×2007变形为（2008+1）（2008﹣1），再运用平方差公式进行计算即可．解答：解：20082﹣2009×2007=20082﹣（2008+1）（2008﹣1）=20082﹣（20082﹣1）=20082﹣20082+1=1．故应填：1．点评：本题考查平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．　14．（3分）（2009•雅安）已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|=　5　．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．1434344专题：探究型．-18- 分析：先把原式化为（x﹣1）2+=0的形式，再根据非负数的性质得出关于x、y的方程组，求出x、y的值代入所求代数式进行计算即可．解答：解：∵原式化为（x﹣1）2+=0的形式，∴，解得，∴|x﹣y|=|1+4|=5．故答案为：5．点评：本题考查的是非负数的性质，根据题意把原式化为（x﹣1）2+=0的形式是解答此题的关键．　15．（3分）（2009•雅安）有4条线段长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中任取三条能构成三角形的概率为　　．考点：概率公式；三角形三边关系．1434344分析：统计出从4条线段中抽取3条线段的所有可能情况，再统计出能构成三角形的三条线段的所有组合，利用概率公式解答即可．解答：解：从长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm的4条线段中任取3条，可得：①1cm，2cm，3cm，②1cm，2cm，4cm，③1cm，3cm，4cm，④2cm，3cm，4cm，根据两边之和大于第三边可知，能构成三角形的有：④．所以能构成三角形的概率是：．故答案为：．点评：此题主要考查了概率公式的应用以及将构成三角形的条件和概率相结合，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　16．（3分）（2009•雅安）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′．已知BC=cm，△ABC与△A′B′C′重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的，则△ABC平移的距离BB′是　（﹣1）　cm．考点：平移的性质；相似三角形的判定与性质．1434344专题：计算题．-18- 分析：设AC与A′B′相交于点D，根据平移的性质判定△ABC与△B′CD相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出B′C的长度，再根据BB′=BC﹣B′C，计算即可得解．解答：解：如图，设AC与A′B′相交于点D，根据平移的性质，AB∥A′B′，∴△DB′C∽△ABC，∵重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的，∴（）2=，∵BC=cm，∴（）2=，解得B′C=1，∴BB′=BC﹣B′C=（﹣1）cm．故答案为：（﹣1）．点评：本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，判定出两三角形相似，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出B′C的长度是解题的关键．　17．（3分）（2009•雅安）定义一种法则“⊕”如下：a⊕b=，例如：1⊕2=2，若（﹣2m﹣5）⊕3=3，则m的取值范围是　m≥﹣4　．考点：解一元一次不等式．1434344专题：新定义．分析：先根据题中所给的条件得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：∵1⊕2=2，若（﹣2m﹣5）⊕3=3，∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．故答案为：m≥﹣4．点评：本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．　三、解答题：本大题共8小题，共69分．要求写出必要的解答过程或演算步骤．18．（10分）（2009•雅安）（1）计算：（π﹣3.14）0﹣2cos30°++（2）先化简代数式：（）•，然后选取一个合适的x的值，代入求值．考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．1434344专题：开放型．分析：（1）原式第一项利用零指数公式化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负指数公式化简，合并后即可得到结果；-18- （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子去括号合并后提取2x，第二个因式的分子利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后取x=1（注意x不能为2，﹣2，0），将x=1代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：（1）（π﹣3.14）0﹣2cos30°++（）﹣1=1﹣2×+3+2=1﹣+3+2=3+2；（2）（﹣）•=•=•=2（x+4）=2x+8，当x=1时，原式=2+8=10．点评：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数公式，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，通分、约分，以及同分母分式的减法法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．　19．（5分）（2009•雅安）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．．考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．1434344专题：计算题．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，找出不等式组的整数解，相加即可．解答：解：，∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，在数轴上表示不等式组的解集为：，∵不等式组的整数解为﹣1，0，1，∴不等式组所有整数解的和是：﹣1+0+1=0．点评：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点的应用，关键是求出不等式组的解集，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．　20．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．-18- 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．1434344分析：（1）平行四边形的对边相等，对角相等，即∠B=∠D，AB=CD，根据已知给出的∠BAE=∠DCF，可证明两个三角形全等．（2）可先证明四边形AECF中对角线的关系，根据AC⊥EF，从而判断出到底是什么特殊的四边形．解答：解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴∠B=∠D，AB=CD，又∵∠BAE=∠DCF．∴△ABE≌△CDF；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴BC﹣BE=AD﹣FD，∴EC=AF，∵AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，∠CEF=∠AFE，∴△AOF≌△COE，∴AO=CO，EO=FO，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．　21．（8分）（2009•雅安）我市某校为了了解八年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）．根据提供的信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生人数，并补全频数分别直方图．（2）该样本的中位数在统计图的哪个范围内？（3）在统计图1中，求“身高在145～150cm部分”的扇形所对应的圆心角的度数．-18- （4）如果该样本的平均数为159cm，方差为0.8；该校九年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么　九年级　（填“八年级”或“九年级”）学生的身高比较整齐．考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；方差．1434344分析：（1）根据155﹣160的频数和百分比求总数．从而求出160﹣165的频数，根据数据正确补全频数分布直方图即可；（2）根据中位数的确定方法求解；（3）用身高在145﹣150的频数除以总数乘以周角的度数即可求得圆心角的度数．（4）利用方差的意义判断．解答：解：（1）总数为：32÷32%=100，则160﹣165的频数为：100﹣6﹣12﹣18﹣32﹣10﹣4=18或100×18%=18．根据数据正确补全频数分布直方图，如下图：（2）第50和51个数的平均数在155～160cm的范围内，所以样本的中位数在155～160cm的范围内；（3）12÷100×100%=12%；（4）方差越小，数据的离散程度越小，所以九年级学生的身高比较整齐．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；考查了中位数和方差的意义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　22．（8分）（2009•雅安）某学校计划购买若干电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费．其余每台优惠15%；乙商场的优惠条件是：每台优惠10%．（1）分别写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x（台）之间的关系式．（2）该学校选择哪家商场购买更优惠？考点：一次函数的应用．1434344专题：应用题．分析：（1）商场的收费的收费等于电脑的台数乘以每台的单价，则甲商场的收费y=4000+（x﹣1）×4000×（1﹣15%），乙商场的收费y=x•4000×（1﹣10%），然后整理即可；（2）学校选择哪家商场购买更优惠就是比较y的大小，当y甲＞y乙时，学校选择乙家商场购买更优惠，即3400x+600＞3600x；当y甲=y乙时，学校选择甲、乙两家商场购买一样优惠，即3400x+600=3600x；当y甲＜y乙时，学校选择甲家商场购买更优惠，即3400x+600＜3600x，然后分别解不等式和方程即可得到当购买2台电脑时，学校选择乙家商场购买更优惠；当购买3台电脑时，学校选择甲、乙两家商场购买一样优惠；当购买多于3台电脑时，学校选择甲家商场购买更优惠．解答：解：（1）y甲=4000+（x﹣1）×4000×（1﹣15%）=3400x+600（x＞1的整数）；-18- y乙=x•4000×（1﹣10%）=3600x（x＞1的整数）；（2）当y甲＞y乙时，学校选择乙家商场购买更优惠，即3400x+600＞3600x，解得x＜3；当y甲=y乙时，学校选择甲、乙两家商场购买一样优惠，即3400x+600=3600x，解得x=3；当y甲＜y乙时，学校选择甲家商场购买更优惠，即3400x+600＜3600x，解得x＞3．所以当购买1台或2台电脑时，学校选择乙家商场购买更优惠；当购买3台电脑时，学校选择甲、乙两家商场购买一样优惠；当购买多于3台电脑时，学校选择甲家商场购买更优惠．点评：本题考查了一次函数的应用：根据实际问题用一次函数表示两个变量之间的关系，再通过比较两个函数的函数值得到对应的自变量的取值范围，从而解决实际问题．　23．（9分）（2009•雅安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点C（2，2），与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，且tan∠BAO=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式．（2）求一次函数与反比例函数图象的另一交点D的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．1434344分析：（1）把点C（2，2）代入反比例函数的解析式即可确定m的值，求得反比例函数的解析式；由tan∠BAO=得到一次函数的斜率k=，再把点C（2，2）代入，即可求出一次函数的解析式；（2）将一次函数与反比例函数的解析式联立，解方程组即可得到另一交点D的坐标．解答：解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=的图象上，∴m=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；∵tan∠BAO=，∴k=，把点C（2，2）代入y=x+b，得2=×2+b，解得b=，∴一次函数的解析式为y=x+-18- （2）解方程组，得或，故点D的坐标为（﹣3，﹣）．点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及用待定系数法确定函数的解析式，属于基础知识，同学们需熟练掌握．　24．（10分）（2009•雅安）如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，∠ODC=30°．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若CA=6，求DC的长．考点：切线的判定与性质．1434344专题：计算题．分析：（1）连接OC，由半径OA垂直于BC，利用垂径定理得到A为的中点，可得出两条弧相等，根据等弧对等角可得出∠ABC=∠ACB，又BE为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角可得出∠EBA=∠ACB，等量代换可得出三个角相等，由BE与EC垂直得到∠E为直角，可得出三个角都为30°，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，可得出∠AOC为60°，又∠ADC为30°，在三角形ODC中，利用三角形的内角和定理得到∠OCD为90°，根据垂直的定义得到OC垂直于CD，即可得出此时CD为圆O的切线；（2）由OA=OC，且∠AOC为60°，得到三角形AOC为等边三角形，根据等边三角形的三边长相等可得出OA=OC=AC，由AC的长得出OC的长，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ODC，将OC及tan30°的值代入即可求出CD的长．解答：解：（1）连接OC，如图所示：∵AO⊥BC，且O为圆心，∴点A为的中点，即=，∴∠BCA=∠ABC，又BE为切线，∴∠ABE=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，∵∠BEC=90°，∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，∴∠OCD=180°﹣∠AOC﹣∠ODC=90°，∴OC⊥CD，-18- 则CD为圆O切线；（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC为等边三角形，∴OA=OC=AC=6，在Rt△OCD中，∠ODC=30°，∴tan∠ODC=tan30°=，则CD==6．点评：此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，其中证明切线的方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证垂线段长度等于半径，本题第一问用的是第一种方法．　25．（12分）（2009•雅安）如图，抛物线的顶点A的坐标（0，2），对称轴为y轴，且经过点（﹣4，4）．（1）求抛物线的表达式．（2）若点B的坐标为（0，4），P为抛物线上一点（如图），过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接PB．求证：PQ=PB．（3）若点C（﹣2，4），利用（2）的结论．判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．1434344专题：代数几何综合题；数形结合．分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可将解析式设为y=a（x﹣k）2+h的形式，再将另一点的坐标代入即可确定待定系数．（2）首先设P点的坐标，然后表示出PQ、PB的长，进行比较即可．（3）BC的长是定值，若△KBC的周长最小，那么KC+KB的长最小，结合（2）的结论，当CK∥y轴，即过C作x轴的垂线时，该垂线和抛物线的交点即为符合条件的K点．解答：（1）解：由于抛物线的顶点为（0，2），设其解析式为：y=ax2+2；将点（﹣4，4）代入上式，得：a×（﹣4）2+2=4，a=即：抛物线的解析式：y=x2+2．-18- （2）证明：设P（a，a2+2），则PQ=a2+2．已知：B（0，4），则PB==a2+2；即：PQ=PB．（3）解：如图，过C作CD⊥x轴于D，交抛物线于点K；由于BC是定值，若△CKB的周长最小，那么CK+KB的值需最小．由（2）知：KD=KB，则CD=CK+KD=CK+KB；在抛物线上取K点外的任一点P，则：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP因此K点即为所求．已知C（﹣2，4），将x=﹣2代入y=x2+2中，得：y=，即K（﹣2，）．△CKB的最小周长：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．点评：该二次函数综合题主要考查了：函数解析式的确定、直角坐标系中两点间的距离公式等知识，难度适中．准确找出K点位置是解答（3）的关键．　-18- 参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；sd2011；zcx；HJJ；caicl；gsls；ZJX；sks；CJX；lk；王岑；sjzx；MMCH；wdxwwzy；zjx111（排名不分先后）菁优网2013年6月15日-18-