高等数学实验室实验46Pi的计算

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1、实验4.6it的近似计算实验目的在木次试验中，追溯关于I员1周率n的计算历程.通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，使学生感受数学思想和数学方法的发展过程，提髙对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识。同时使学住看到数学家对科学真理的永无上境的追求。实验指导兀是使人们最经常使用的数学常数。人们对兀的研究已经持续了2500多年.在今天，这种探索还在继续……1.割圆术汉代著名数学家刘徽在《九章算术注》屮创造了割圆术.刘徽注意到圆内接正多边形的面积囿于圆面积，边数加倍时正多边形的面积随Z增加，圆内接正多边形而积逐渐逼近圆的而积，圆内接正多边形的

2、周长也逐渐逼近圆的周长.这充分休现出了朴索的极限思想•.时利用这种方法，刘徽计算了圆内接正96边形的边长与面积，得到兀~3.14.图46・1削圆术割圆术从单位圆开始，首先作单位圆的内接止6边形，然后边数加倍,正12边形，正24边形，正48边形，正96边形……利用勾股定理可以建立边数和血积的递推公式，进而得到兀的近似值。设圆内接正n边形的边长为爲，圆内接正n边形的血积根据勾股定理，边长冇如下递推公式:面积与边长冇如下关系:*6・2川6•2/,+,险圆面积S为多边形的面积Z间有如下关系:$2"VSV2S2n-S”⑶让我们借助计算机完成刘徽的工作：a[O]=la[n_]:=Sqrt[2_

3、Sgr*t[4_a[n-1]A2]];严多边形边长*)b[n_]:=6*2An*a[n];严多边形周长*)s[n_]:=3*2An*a[n];严多边形面积*)计算结果多边形边数n多边形面积S“多边形边长碍123.105832-3243.13263屮2+3483.13935963.14103著名数学家祖充Z(公元429年)，计算了圆内接疋24576边形的边长,得到了31的取值范围为3.1415926

4、，使用内外而积夹挤的方法计算出兀的35位小数.为了纪念他，德国人民把n称为鲁道夫数.图46-2多边形对园而积的夹挤3.韦达(VieTa)公式1593年，韦达首次给出了计算Pi的精确表达式：2V2丁2+血』2+』2+右』2+』2+丿2+石——=(4)龙2222韦达公式看起来冇些神秘，其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法.1.从sint开始・rt•tsinr=2cos—sin—22t=4cos—t・tcos—sin—44att=8cos—cos—24cost・/—sin—88=16cosCOSCOSCOS—sin—1616tNt所以，对任意N,总有sinr=2^^—Ficos—

5、°NJLJL//t=l乙sinz那么，空£=ZLsin_Lpjcostt2"gl=IIC0S7n=乙TTS'得到271717171-cos—4cos—8cos—16cos——…32(5)n=乙TT2.从cos一开始4COS—=——4271COScos—+18丿2+血I——7==2+Q2+J2+J2归纳可知其中共有n重根号(5)和(6)结合使用，就得到韦达公式:吕兀筲』2+』2+..・+丿2+&1Ims芦二nH=I/n=12.使用Vieta公式计算只的近似值Vieta[n_]:=Module[{u}zu=N[Product[Cos[Pi/2A(i+1)]>{i,1,n+1}],2

6、0];Return[2/u]]Table[{nzVieta[n]zPi-Vieta[n]}z{n,0,20,2}]Sil—.1415923455701177423•1415926343385629891•1415926523865913458.1415926535145931202.1415926535850932311•1415926535894994880,0-3131655288436031409,0.0201475013317409529,0.0012614966350403261,0•0000788524454921621=,4.9283126335378'10~6—,3

7、.080196754961'10~Z—,1.92512302494'10^8-,1.2032018927'10~9,7.52001183'10-11,4.7000074'm~p,2.93750510"13每增加两项,可以提高1位数的精确度.能不能利川韦达公式构造出一种迭代算法?4.利用级数计算兀1.莱布尼兹级数(1674年发现)(-/(7)2k+读者对执行如下程序体验一下计算效果.Table[{n,严和式的项数★)N[4Sum[(-l)Aj/(2j+l),{j,0,