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1、立体几何中的向量方法知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)H线的方向向量：/是空间一宜线，A,B是宜线/上任意两点，则称乔为肓线/的，M乔平行的任意也是直线/的方向向量.⑵①定义：与平面垂直的向最,称做平面的.②确定：设a,〃是平面a内两不共线向量，〃为平面a的法向量，则求法向量的方程组为2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线1，】2的方向向量分别为n2厶〃/2ti//1山2〃［丄直线/的方向向量为w,平面a的法向量为m1//am丄加台/丄an//平面a,Q的法向量分别为他，ma〃0aA_B农丄加o3.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法
2、设两条异面直线G〃的方向向量分别为4,b,其夹角为0,则COS0=ICOS0(其中(P为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为从直线/与平面a所成的角为°,两向量e与〃的夹角为0，则有sin0=lcos0=(3)求二而角的大小a.如图①,4B,CD是二面角讥B两个半平面内与棱/垂直的直线,则二面角的大小①b.如图②③，心，血分别是二面角S3的两个半平而a,0的法向量，则二而角的大小0满足COS0=4.点到平面的距离的求法如图，设M3为平血。的一条斜线段，舁为平面匕的法向量，则点3到平面a的距离R［做一做I1.下
3、列命题中，正确命题的个数为()①若山、川2分别是平面a、"的法向量，贝IJ/11〃血0。〃0；②若死1、血分别是平面a、卩的法向量，则a丄0Oni•n2=0;③若n是平面a的法向量，aa共面，则wa=O；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.41.已知向量加，〃分别是直线/和平而a的方向向量、法向量，若cos〈加，n)=—*，则/与。所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°要点整合1.辨明两个易误点(1)求界面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角范围为(0,(2)求直线与平而所成角时，注意求出两向量夹角的
4、余弦值的绝对值应为线面角的正弦值.2.向量法求二面角大小的两种方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二而角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直H以垂足为起点的两个向屋，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.［做一做］3.已知两平面的法向量分别为加=((),1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°4.长方体4BCD-ABCQ中,AB=AAx=2fAD=lfE为CC】的中点,则异面直线BC与AE所成角的余弦
5、值为.证明空间中的位置关系考点一刑用空间向量证明平行问题空2»已知正方体4BCD・4BCQ的棱长为2,E,F分别是§5,00的中点.求证：FC】〃平^ADE.跟踪训练线线平行线面平行面面平行证明两直线的方向向量共线①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示证明两平面的法向量平行(即为共线向量)1•已知正方体ABCD-AlBlClD［的棱长为1,E、F、G分别为/B、AD.曲］的屮点，求证：平面EFG〃平面B、CD.考点二利用空间向最解决垂肓问题(高频考点)空间儿何
6、中的垂直问题是高考试题中的热点问题.考杏形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是髙考中的重要得分点.高考对空间向最解决垂肓问题侑以下三个命题角度.(1)证明线线垂直问题;⑵证明线面垂肓问题;(1)证明而而乖直问题・(2015-安阳模拟)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,PD丄平血ABCD,E,尸分别为棱力D,的中点，f.PD=AD.求证：平jfilCEF丄平IfilPBC.通关題纽［规律方法］用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线
7、，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.2.如图,四棱柱ABCD・4BCD的底面ABCD是平行四边形，力3=1,BC=2,ZABC=60°,E为BC的中点，44】丄平而ABCD.证明:平面AXAE丄平面/QE.⑵在四棱锥P-ABCD+,PD丄底ABCD,底ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是肋、的中点.①求证：EF丄CD；②在平面丹Q内求一点G,使GF丄平面PCB,并证明你的结论.考点、二利用向
