高三数学排列组合错题集

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错题集一、两个原理混淆两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.【例1】某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为（用式子表示）.错解依题意，高一比赛有C场，高二比赛有C］场，高三比赛有C?场，由分步计数原理，得共需要进行比赛的场数为c^clci剖析结合题意，各年级之间进行的比赛是分类计数，而不是分步计数.正解依题意，高一比赛有広场，高二比赛有C；场，高三比赛有広场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为d+d+ct二、排列组合混淆怎样界定排列与组合问题？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存时，一般采用先组合后排列的方法.【例2】7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有多少种？错解1最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学，有A；种，剩下的3位同学也有A：种，故共有A齋=720种.错解2最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站 在一边，有C；种；剩下的3位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C；种.又两边可以交换，故共有C繼=40种.剖析木题看似排列问题，其实是组合问题.正解最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边,有C附,则剩下三位同学的位置己定.故共有020种.三、重复计数【例3】7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有几种？错解1排在排头的有除甲之外的A；种情形，排在排尾的也有除乙之外的汕种情形，两端排好后余下的排中间有A?种情形，所以不同的排法有A；A晁=4320种.错解2头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有盂种排法，余下的人排中间有血种排法,所以甲、乙不在排头、排尾的排法有A犹种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有种，因此不同的排法共有A加+2盛=3840种.剖析对于错解1中排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5心种情形.对于错解2中甲在排尾且乙在排头已包含在甲在排尾或乙在排头的情形中，因此重复计算了朮种排法.正解1在错解1中，减去重复数，应为AUiAs-5A^=3720种排法. 正解2在错解2中，减去重复数,应为A繼+2A—3720种排法.四、遗漏计数【例4】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有种.错解把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E—起全排列，有A：=24种站法.剖析审题不严，未注意到“八、B可以不相邻”而漏解.正解1按A的位置分为四类：A排第一、二、三、四位时的排法数分别是A：、3Ak2A；、AjAL所以共有A：+3农+2A；+A>60种排法.正解2利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），故有60种.[例1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于10个元素到6个元素的映射，故有6"种不同的坐法.错因：没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本题事实上是一个排列问题.正解：坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有=151200种坐法. ［例2］从・3,-2,・1,0,1,2,3,4A个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2-^bx+c的系数a,b,c的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？错解：从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=+c的系数a,b,c的取值，交换a,b,c的具体取值，得到的二次函数就不同，因而本题是个排列问题，故能组成个不同的二次函数.错因：忽视了二次函数y二ef+Zzx+c的二次项系数a不能为零.正解：a,b,c中不含0时，有个；a,b,c中含有0时，有2个.故共有+2二294个不同的二次函数.注：本题也可用间接解法•共可构成人；个函数，其中a二0时有个均不符合要求，从而共有&・=294个不同的二次函数.［例3］以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有C；C；二3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有C；C；二9个；上底面取3点时，下底面取一点，有二3个.综上知，共可组成3+9+3=15个不同的三棱锥.错因：在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法.正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有C：=15取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有3=12个不同的三棱锥.［例4］4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：(1)男生必须排在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？(4)男女生相间的坐法有多少种？(5)女生顺序已定的坐法有多少种？解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有血种坐法；而大元素内部的小元素间又有种坐法.故共有A：二576种坐法.⑵因为女生互不相邻，故先将4名男生排好，有种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有种排法.故共有A：=1440种排法.⑶类似(4)可得:种⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有眉种排法•故共有4：=144种排法.(5)7个元素的全排列有种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有排法，可知中重复了&次，故共有十二二840种排法.本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有=840种排法.［例5］某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有C；二7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有^=42种；从三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有C；二35辆.由分类计数原理知，共有7+42+35=84种抽调方法.本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份. 具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而有C；二84种抽调方法.［例6］用0,1,2,,9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2,则这样的四位数共有多少个？解：若千位数字与个位数字中有一个为0,则另一个为2,且0只能在个位，2在千位，这样有四位数有Al个.若千位与个位都不含有0,则应为1与3、2与4,3与5、4与6,5与7、6与8,7与9,这样的四位数有个...共有盃+7A；x盃=840个符合条件的四位数［例1］已知(1-2x)5°=a。++0兀2+…+色。*'。,求4+色+・・・+°50的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知：@+b)"的展开式的各个二项式系数的和等于2〃，显然，00就是展开式中的C；)o=1,因此①+①+…+①。的值为2"・1.错因：上述解答忽略了兔，绚，。2，・・・，。50是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征，兔,％卫2,…卫50是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果X=1，则等式右边为Q()+d］+。2+・・・+。5()，出现所求式子的形式，而0()就是展开式中的=1,因此(1-2X1)50=cIq+%+0+…+a50，即1二1+d］+E+…+。5()，所以，01+$+…+。5()二0评注这是二项式定理的一个典型应用一赋值法，在使用赋值法时，令d、b等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“・1”，或其他值.［例2］在多项式/(x)=C；t(x-1)+C；(x-1)2+Cl(x-1)34-...+C；；(x-1),:的展开式中，含护项的系数为. 错解：原式二［1+(兀_1)］”_1二兀“_1项的系数为0.错因：忽视了n的范围，上述解法得出的结果是在n不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.正解：原式二[1+(兀二*.•.当n疣时,兀&项的系数为0.当n=6时，*项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少C^(x-l)0这一项.[例4]已知(頁+—^=)"的展开式前三项中的x的系数成等差数列.2氓x(1)求展开式中所有的兀的有理项；(2)求展开式中系数最大的项.解：(1)展开式前三项的系数分别为c：=i,c：.(护=訥一1).n]由题设可知：2•—=171(/1—1)28解得：n=8或n二1(舍去).4-占当n=8时，Tr+]=C；(Vx)8_r-(2-Vx)_r=C；・2"・x_r.3据题意，4・三厂必为整数，从而可知厂必为4的倍数，4而0W,・•・尸=0,4,8.351故兀的有理项为：7；=疋，7；=—x,T9=——%2.158256(2)设第厂+1项的系数/冲最大，显然0+]>0,故有^>1且^-<1. r+1二9—厂trC；"1-2"r+,2r，9—厂由——>1,得r<3.2r.匕+2_C0V=2(厂+1)人C；•2-8-r'由2(厂+1)「得厂二2・8-r57:.r=2或r=3,所求项分别为7；=7x2和7；二7兀匚评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.2•运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含兀某次幕的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得n或「后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系).3.注意区分展开式“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”.[例5]已知/(x)=(l+2x)?n+(l+2x)nN*)的展开式中含兀项的系数为24,求展开式中含/项的系数的最小值.解：解法一由/U)中含兀项的系数为24,可得C 2x+C2x=2nvc+2nx=24%.从而，m+H=12.设/(x)中含，项的系数为t，则t=Cl22+C}22=2(7t?2+n2-m-n).把m=2-n代入上式，得t=2[(12-n)24-n2-12]=4(n-6)2+120. .•.当n二6时，t的最小值为120,此时m二n=6.解法二由已知m+/i=12,设/(兀)中含/项的系数为t,则t=2(m2+h2-12)+_12]=2(72・12)=120.当且仅当m二n=6时，t有最小值120./(%)展开式中含F项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.