资源描述：
《《数学建模公选课课件》第七讲多项式插值与曲线拟合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、插值与拟合§1多项式插值问题已知函数尸/（兀）在n+1个互异结点处的函数值，如下表所示:旳兀0兀1Xnyi=f(Xi)JoJ1Jn求一个n次多项式Pn（x）,使得Pn（xz）=ji，1=1,2,』。并利用Pn（兀）近似未知函数/（兀）。从几何上看就是寻找一条n次多项式曲线Pnd），使其通过平面上已知的n+1个点:III%••I::;丄一、Lagrange插值Pn(x)=Mo(x)+yJi(兀)+…+儿人(x)其中，n(x-x.)J=o7厶（x）=j$inn(xz.-x)戶0丿••田二、Newton插值打（兀）=儿+力兀0內］（兀一兀0）+/［兀0眄，兀2］（兀一兀0）（兀一兀1）+…+/［
2、xo,xp--sxj（x-xo）（x-x1）•••（%-其中，爪，讣心）一心）随着插值结点的增多，插值多项式的次数也增加。然而多项式次数越高，近似效果未必越好，反而容易出现高次插值的Runge现象,为此需要考虑下面的分段插值问题。三.分段插值1、分段线性插值在相邻两个结点［xk,Xk+i］内，求一条线段近似函数/（兀），石疋［兀k^k+l］。oo2、分段抛物插值在相邻三个结点之间用抛物线近似未知函数。四、样条插值分段线性插值虽然避免了高次多项式插值的Runge现象，然而在插值结点处又产生了新问题：不光滑。为了克服这一现象，引入三次样条插值:在相邻两个结点之间用三次多项式函数业（X）近似未知
3、未知函数，并保证在插值结点处满足衔接条件：（兀）=（兀）,S；（兀）=H+1（兀），s：（x）=s：+（兀•）（i=1,…必一1）5五、Matlab插值命令yi=interpl(x,y,xi,'method')(x,y)：插值节点；xi：被插值点；yi：xi处的插值结果；method：插值方法；Fearest，最邻近插值「linear，线性插值；Spline，三次样条插值「cubic，立方插值。缺省时：分段线性插值。注意：所有的插值方法都要求X是单调的，并且Xi不能够超过X的范围。例1：在1・12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5,8,9,15,25,29,31,
4、30,22,25,27,24。试估计每隔1/10小时的温度值。Matlab命令hours=l:12;temps=[589152529313022252724];h=l:0.1:12;t=interpl(hours,temps,h/spline*);plot(hours，temps/+；h£hoiirs，teinps，'r:')%作图xlabel(*Hour1),ylabel(1DegreesCelsius5)卜30252010506Hour1012练习：下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据，利用这些数据给出1790年一2000年每隔5年的美国人口数据，并预测2005年、201
5、0年人口数，与实际值比较。（人口单位：千人）年份179018001810182018301840人口39295308724096381286617069年份185018601870188018901900人口231923144338558501566294875995年份191019201930194019501960人口91972105711122755131669150697179323年份197019801990200020052010人口203212226505248710281416?■?•§2二维插值问题已知函数z=/(x,j)在若干结点处的函数值，Zjj=/(%儿)丿=12…
6、，加;)=12・・・曲，找一个简单二元函数使其通过已知的个结点，并用此函数近似一、结点类型1、网格型结点2、散乱结点二、插值方法1、最邻近插值（兀1，乃）（也*2）••—••gyjOwi）二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。2、分片线性插值将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：f（Xi^yj）=f29f（Xi^yj+i）=f3ff（xhyj+i）=f4分两片的函数表达式如下：第一片（下三角形区域）：任,刃满足/力+1一兀/、.ys（兀一兀）+儿兀+i一壬插值函数为：/（X，刃=
7、兀+（心一帀（X—兀）+5-^）0—兀）第二片（上三角形区域）：（兀』）满足巳二（d+兀+i一兀插值函数为:/（兀刃=/；+（尤一久）0-儿・）+S-办）（x-兀）注意:（x,y）当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的;3、双线性插值（Xb乃）（也」2）••双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：/（x,y）=（ax+b）（cy+d）其中有四个待定系数，利用该函数
