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《广东省广州市重点学校备战高考高三数学一轮复习试题精选：立体几何08含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、立体几何089.在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）。将AAEF沿EF折起到&4上尸的位置，使二而角AlEF-B成直二而角，连结AiB、AiP（如图2）（I）求证：AiE丄平面BEP；（II）求直线AiE与平面AiBP所成角的大小;（III）求二面角B—AiP—F的大小（用反三角函数表示）解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1）在图1'I',取BE小点D,连结DF.AE：EB=CF：FA=1：2・；AF二AD二2而ZA二60°,AADF是正三角形，又AE=DE=1,AEF丄AD在图2中,
2、A£丄EF,BE丄EF,AZAjEB为二面角Ai-EF-B的平而角。由题设条件知此二面角为直二而角，A]E丄BE,又BE^EF=E：.AiE丄平面BEF,即AiE丄平面BEP(2)在图2中，&E不垂直A：Bf/.AxE是平面A】BP的垂线，又八注丄平面BEP,・・・&E丄BE•从而BP垂直于A:E在平面A:BP內的射影(三垂线定理的逆定理)设A:E在平面A：BP內的射彫为&Q,且A:Q交BP于点Q,则ZE】AQ就是屯E与平面&BP所成的角，且BP丄A1Q•在AeBP中，BE=EP=2而ZEBP=60:、/.AEBP是等边三角形•又A：E丄平面BEP,/.A-B=A；P,・
3、・・Q为BP的中点，且EQ=^33又AiE=l,在RtZA：EQ中，tanZE*。=上二=馆AXE・•・ZEA；Q=60・•・直线A:E与平面&BP所成的角为60:在图3中，过F作FM丄AXP与M,连结QMrQF；/CP=CF=lrZC=60:J/.AFCP是正三角形，.IPF=1.有P0=BP=1/.PF=POX),•.•A:E丄平面BEP,EQ=EF=忑・・・A：E二AQ/.△A：FP竺△A：QP从而ZA：PF^ZA：PQ②，由①②及MP为公共辺知△FMP竺△QMP,/.ZQMP=ZFMP=90且MF^MQ,从而ZFTO为二面角B-AXP-F的平面角.在RtAA
4、iQP中,AiQ=AiF=2,PQ=1,乂二时=后.MQ丄AiP・•・MQ=A^PQ2a/5.•-5MF=2^5"y-在AFCQ中,FC=1,QC=2,ZC=60°,由余弦定理得QF=y/3在ZXFMQ屮,cosZFMQ=MF2+MQ1-QF2IMF•MQ7•I二面角B—AiP—F的人小为7V-arccos—8解法二：(1)作AH丄面BCD于连BH、CH、则四边形BHCQ是正方形，且AH=lf以D为原点”以DB为兀轴,DC为y轴建立空间总角坐标系如图，则B(l,0,0),C(0,l,0),A(l,l,l)・BC=(-1,1,0),DA=(1,1,1),.BCDA=0,则
5、BC丄AD(2)设平面XBC的法向量为=(x:vsz)s则由®_BC知:再-BC=-x+v=0；同理由®—C-4知:®C4=x+z=0.可取®=(1:1;-1).同理，可求得平ACD的一个法向壘为勺=(LO;-1).由图可以看出三面角B-AC-D的大小应等于<兄忘〉COS<771；n2q•仏1+0+1&si=^=T，即所求二面角的大小是arccos逅.(2)设£(xsyzz)是线段AC上一点贝」x=z>02v=L平面BCD的一个法向量为n=(0,0rl)rDE=(x丄小要使肋与面PCD成30。角,由图可知万左与齐的夹肃为60S所以cos<=cos60’.则2x=71+2x
6、:；解得,x=^贝JCE=^2x=l0故线段AC±存在三点.且C£=l,时三D与面BCD成30。角.AD是公共的斜【解后反思】在立体儿何学习屮，我们要多培养空间想象能力，对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点么一・是高考数学必考的知识点Z—.作，证，解，是我们求二1侨角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角，并将这个二面角进行平面化，迸于一个三角形屮，最好是直角三角形，利用我们解三角形的知识求二而角的平而角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体儿何问题的角度,不过在向屋运用过程中，要首先要建系，建系要
7、建得合理，最好依托题H的图形，坐标才会容易求得.Ac9.如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,边，且AD=V3,BD=CD=1,另-一个侧面是正三角形(1)求证：AD1BC(2)求二面角B-AC-D的大小B(1)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。解法一:⑴方法一:作AH丄面BCD于H，连DH.AB丄BD=>HB丄BD,•.・AD=^,BD=AB=^2=BC=AC/.BD丄DC又BD=C0则BHCD是正方形.则DH丄BC..・・AD丄BC
