22.2 二次函数与一元二次方程

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1、22.2二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教学过程设计

2、（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。考虑以下问题5/5（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如

3、果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程15＝20t—5t2。t2—4t＋3=0。t1＝1,t2＝3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程20＝20t－5t2。t2－4t＋4＝0。t1＝t2＝2。当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程20.5＝20t－5t2。t2－4t＋4.1＝0。因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程0＝20t－5t2。t2－4t＝0。t1＝0,t2＝4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m

4、，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。播放课件：函数的图象，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案。5/5从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）。反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。（二）问题的讨论二

5、次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0。的图象如图所示。（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可播放课件：函数的图象，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图象，观察5/5图象，说出函数对应方程的解。可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2

6、＋x－2=0的根是－2,1。（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x＝3时，函数的值是0。由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3。（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y=的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（

7、2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）。解：作y＝x2－2x－2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7。5/5所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7。播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个

8、课件用来画