数字信号处理第2版课件教学配套课件作者张小虹3数字信号处理1

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1、第3章离散傅里叶变换——DFT在数字信号处理中，有限长序列占有很重要的地位,它既有ZT变换也有序列的傅里叶变换。ZT与DTFT的共同特点：X(z)与X(曲)是连续函数，不适于计算机计算或数字处理。所以要导出适于计算机计算或数字处理的DFT。DFT的序列是离散序列，适于计算机计算或数字处理,并且有高效算法FFT。为了更好理解有限长序列DFT的概念，我们从周期序列的DFS开始。§3.1周期序列的傅里叶级数——DFS（离散傅里叶级数）周期序列x(n)=x(n+kN)00丫Lr(〃)lT8M=-00显然不满足ZT与DTFT的收敛条件，因为00丫x(n)z~nItoo«=—00但周期

2、序列有傅氏级数表示与模拟信号分析FS对应连续FTLTFS离散DTFTZTDFS9/11为加深概念理解由模拟信号的FS开始。其中:00x(t)=x(t+kT)=2Xkk=-g1JUE=沪Jf/2x(t)eTQdf而:k=0k=±l直流基波k—+n第〃次谐波,〜釆样〜x(t)ax(n)=x(n+kN),t=nAT,T=N^T,从基波贝！JQi普tInNn第k次谐波:kQi=kIn7"t—k17CNATnAT贝(J——ad翠kn因为j一(k+N)n门j—knpJT7Nnj一kneJn0"=enen=en无=0丄2,・・・AM是周期为N的序列x(t)(3-M)0〜N—l指数序列的周期

3、性1N—1In—mN•2/r+・・・+eW（N—i）•2龙1C1—eW"Nlj笳In—rN.2兀1—eJ和r1r=O，±2V，±2N，・・・I0其他由罗必塔法则(3.1-2)令心0，1，2,…，N-1中任二个数(3.1-1)X（W）=-ZX（k）d石阪N壯o.2兀在上式两边乘以e,并从0〜N-1求和:壬匕）用"n=0N-l=En=0丄S讪d>Na：=o一•2/r-1—rnenN-L~=EX(k)氐=0N—l.InH=0交换求和次序X(Qk—r0ki=r由指数序列的正交性可知只有一项k=rf又因为OWkWN-1,所以上式只有一个独立项。9/11(3.1-3)由此得到讪二f(叭訂

4、納H=0~N-l2ttX(k+IN)=x(n)^(k+lN)nw=0N-l.2©.2冗=2j兀(兀)e'nenn=0N-l171=Ex(n)e_JV^H=0=X(Q也是周期为N的周期序列得到DFS变换对为1N—l(3J-4a)(3J-4b)3=亓Ex(k)^kn壯0~N—.InX(Q=£x(n)e'n如w=0且有x(n)=x(n+mN)X(k)=X(k+IN)人令w^=e"JV~N-l(3.1-5a)则X(k)=£x(n)w^nw=0]Ni〜-kn(3el-5b)x(n)=2X(k)WNNk=Q可记为:DFS[x(n)]=X(k)IDFS[X(k)]=x(n)例3.1-1x

5、(n)=Ri(n),x(n)=工x(n+4r)求X(Q、r=—oo并作if(QI、arg[X(A;)]图。解兀(〃)、Ax(n)兀(〃)如图3・1・1所示。Ax(n)-4-3-2-1b1234N-1匕.Mx(k)=Ex(n)w^n=Ee"JT^n=0n=0X(0)=1+1=2~.71X(l)=l+e"Jl=l-j二迈e-j方4X(2)=l+e—M=1-1=0~•3ttX(3)=l+e~JT=l+j=迈&方4U/6]fr£Z]0•I•j•II胪一oo[(/)x]旺v£Z"11(沁I。士坷m園曲'i（迫xi从上可见，周期序列虽然是无限长序列，但只有有限个信息序列值，一般的0〜N-

6、1区间也称周期序列的主值区。周期序列与有限长序列有本质的联系。有限时宽序列兀S）既有对应的X（z）,也o若该兀（〃）是取兀（〃）的主值序列（取其一周得到），则£（町就会与X（z）、有一定的联系。即rx(n)x(n)=§I00

7、.1-9)a)=2欣IN(3J-10)X(k)=砂2加/N(3.1-9)(3.1-10)X(Q是在单位圆的N个等角度间隔上对X(z)取样，且第一个取样点在z二1处oej5a>、2—e丄5O、2lie丄53e丄5O>、2e丄<0、2x(e$¥xs9、二eT5®/2&53/2_ed5o/2sin(5co/2)•=ed2(D=IX(eM)l&e(®)eT®/2eJ°/2—eT®/2sin(co/2)00例3・1・3⑴xx(n)=Ex(n+10r),求元仇)，作1元仇)1图。r=—oo(N=10)00(2)x2