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1、浅谈几何概型的分类及应用安阳县第二高级中学分校张兴洲摘要本文先介绍了儿何概型的定义，列举出儿何概型的分类并对每种分类作详细阐述，通过实际问题，详细表明其各种分类的具体应用及优点.关键词：几何概型；几何度量；测度.Abstractthisarticleintroducedfirstthegeometrygenerallydefinition,enumeratesthegeometrygenerallyclassificationandmakesthedetailedelaborationtoeachkindofclassification,throughtheactu
2、alproblem,indicatesitseachkindofclassifiedindetailtheconcreteapplicationandthemerit.Keyword:Geometrygenerally;Geometrymeasure;Measure.正文11几何概型的定义31.1几何概型的定义31.2几何概型的两个特点31.3几何概型的三个基木性质42几何概型的分类和计算32.1区间模型——仅涉及一个变量兀42.1.1测度为长度的几何模型32.1.2测度为角度的几何模型32.2平面模型——涉及两个变量兀y32.3空间模型——涉及三个变量兀53几何概
3、型的应用33.1几何概型在生活屮的应用33.2几何概型在工业中的应用33.3几何概型在教学、解题中的应用3参考文献34致谢361几何概型的定义几何概型是概率与数理统计屮最基本的问题因而有必要进行深入探讨和归纳.1.1几何概型的定义设Q是某个可度量的区域(可以是一维、二维、三维)。若一个随机试验可归纳为向Q屮随机地投入一点M,点M落在Q屮任一点是等可能的，即点M落在Q的某一子区域A内的概率与A的儿何量成正比，而与A的行政和位置无关，则称这样的概率模型维儿何概率概型，简称几何概型.对于几何概型试验，若记“点M落在A内”为事件A,则事件A的概率公式为P(A)=m(A)/m
4、(Q),其中m表示区域的几何度量(可以是长度、面积、体积等).L2几何概型的两个特点(1)在一次随即试验中，不同的试验结果(基本事件)有无限多个；(2)每一个基本事件发生的可能性相等.1・3几何概型的三个基本性质(1)对于任何事件A,P(A)MO;(2)P(Q)二1；(3)若^，短…久两两互不和容，则P（£+仏+£+•••+4J=P（AJ+戶042）+卩（生）+…+H4）第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的(由限)可加性.2几何概型的分类和计算由儿何概型计算公式P(A)二〃的测度D的测度(分母不为0)可知，儿何概型的计算与测度
5、即儿何度量有直接的关系，而几何度量又可分为长度度量，面积度量，体积度量，角度度量等不同情况，所以根据几何度量的不同可把几何概型分为测度为长度的几何概型，测度为面积的几何概型，测度为体积的几何概型和测度为角度的几何概型•而测度为长度的几何概型和测度为角度的儿何概型都只涉及一个变量，称为区间模型；测度为面积的儿何概型因涉及两个变量又称为平而模型；测度为体积的几何概型又称为空间模型.2.1区间模型——仅涉及一个变量兀2.1.1测度为长度的几何模型例1如图1,ZA0B=60°,0A=2,OB=5,在线段0B±任取一点C,试求：△AOC为钝角三角形的概率.解析先看使Z^AOC
6、为直角三角形的情况：⑴若Z0CA二90°,则0C二1；(2)若Z0CA=90°,则004.如图，G和C?分别是适合以上两种情况的点C,它们均在线段0B上,由题意知，当点C在线段Oq或CqB内吋，AAOC为钝角三角形.故D的测度二0B二5,d7的测度=g+S=】+l=2.从而，MC为钝角三角形的概率戸〒点评对测度为线段长度的问题，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样木空间所对应的线段，防止遗漏或以偏盖全.例2设m在［o,5］上随机地取值，求方程有x2+Wx+-+-=O有实根的概率.42解：一元二次方程〒+加％+巴+_L=o有实数根oA42=/7?2-4(—
7、+—)=77?2-〃2-2二(m+1)(m-2)Mo,则mW—1或m$2,故所求概率42［2,5阳长度_3b，5*J长度5*2.1.2测度为角度的儿何模型例3在AABC中，ZB=60°,ZC=45°,高AE=73,在ZBAC内作射线AM交BC于M,求BM<1的概率.解析如图2,射线AM在ZBAC内是等可能分布的，当AM与高AE重合时，BM=1,故满足BM<1的射线AM在ZBAE内.于是D的测度二ZBAC二180°-(60°+45)=75°,dq()7的测度二ZBAE二90-60°=30°,从而P(BM<1)=—=-.755点评若将本题的“在ZBAC内作射线AM交
