1.1.2(2)弧度制

《1.1.2(2)弧度制》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、弧度制1.弧度制的概念2.角度制与弧度制的互化3.角度制与弧度制的比较【基础知识精讲】1.弧度制的概念(1)定义我们把弧长等于半径时的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制.(2)定义的基础根据圆心角定理，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数.因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以作为度量角的标准.(3)意义①在角度制中，角度是一个量，而在弧度制中，弧度数表示弧长与半径的比值，是一个实数.这样在角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系.即：每一个角都有唯一的一个实

2、数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.②在弧度制中，弧长公式l=｜α｜·r，扇形面积公式S扇＝lr=｜α｜·r2.其形式特别简单，因而使用起来十分方便.2.角度制与弧度制的互化360°=2π(弧度)180°=π(弧度)1°=弧度≈0.01745弧度1弧度=()°≈57.30°=57°18′.3.角度制与弧度制的比较(1)度量单位不同，弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度，以这两种为单位量度的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.(2)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少

3、π的形式.如45°=(弧度)弧度二字通常可以省略不写.(3)弧度制是十进位制，角度制是60进位制.(4)弧度制表示角时不要与角度制混用.【重点难点解析】本节的重点是掌握角的各种表示及角度制和弧度制的换算.学习时可先观察实例，由此认识角的概念的推广的必要性和实际意义；认真学习弧度的定义，掌握角度制和弧度制的换算公式，达到熟练掌握例1(1)把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π.(2)若β∈［4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.分析：利用互化公式将-1480°化为弧度制即可.根据β的范围及β=α+2kπ，即可求出β.解：(1)因为-1480=-=-

4、8π-=-10π+π.又因为β与α终边相同，所以β=α+2kπ=π+2kπ,k∈Z.又因为β∈［-4π，0］，所以β1=π-2π=-,β2=π-4π=-π例2集合A={α｜α=,n∈Z}∪{α｜α=2nπ±，n∈Z}，集合B={β｜β=，n∈Z}∪{β｜β=nπ+,n∈Z}，则集合A与B的关系如何.分析：交换集合的形式，找出两个集合中元素的异、同.解：{α｜α=,n∈Z}∪{α｜α=2nπ±，n∈Z}，{β｜β=n∈Z}={β｜β=2kπ,k∈Z}∪{β｜β=2kπ±,k∈Z}，比较集合A、B的元素，集合B的元素都是集合A的元素，但集合A中有的元素，如α=(2k+1)π却不是B

5、中的元素，所以BA.例3已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.(1)求的弧长；(2)求弧形OAB的面积.分析：将圆心角α用弧度表示，然后利用弧长公式、扇形面积公式，三角形面积公式可得解.解：(1)∵α=120°=,r=6∴l=弧长=·6=4π(2)∵S扇形OAB=lr=·4π·6=12πS△ABO=r2·sin=·6·)=9∴=12π-9【难题巧解点拨】例1已知π＜α+β＜，-π＜α-β＜-，求2α-β的范围.分析：欲求2α-β的范围，一般考虑建立相应的不等式再解之，因此多直接从两已知不等式出发，运用不等式四则运算法则先导出α的范围和β的范围，最后再导出2α-β的范围

6、，但由于同向不等式相加时不是同解变形，因此所求结果误差太大.为了解决这一问题，应尽量少进行此类运算.为此，可先利用待定系数法用A(α+β)+B(α-β)表示2α-β，最后再利用条件导出所求范围.解：设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β比较α与β的系数所以A=，B=.所以2α-β=(α+β)+(α-β).而＜(α+β)＜，-＜(α-β)＜-所以-π＜2α-β＜.评析此题易犯如下错误解法因为π＜α+β＜，-π＜α-β＜-两同向不等式相加得0＜2α＜π再由第二个已知不等式得＜β-α＜π②将第一个已知不等式与②相加得：＜2β＜即＜β＜，所以-＜

7、2α-β＜③①与③相加得-＜2α-β＜这种错误解法所得范围比上述正确解法所得范围大得多，其原因是多两次向不等式相加运算.例2设α是第一象限的角，试确定所在的角限.解：∵2kπ＜α＜2kπ+(k∈Z).∴πk＜＜kπ+(k∈Z).当k=2n(n∈Z)，则2nπ＜＜2nπ+,这时在第一象限.当k=2n+1(n∈Z)，则2nπ+π＜＜2nπ+(k∈Z),这时在第三象限.说明：(1)设αi(i=1,2,3,4)是第i象限的角，用上面同样的方法可确定所在的象限，分布情况如上图.(2)若已知角α所在的象