1.2-关系_ou-简化

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1、§1.2关系(relations)1.2.1关系的基本概念及其性质1.2.2等价关系1.2.3部分序关系1.2.1关系的基本概念及其性质一、关系的定义二、关系的表示三、关系作为集合的运算四、几种特殊关系及特点五、闭包运算一、关系的定义定义设A1,A2,,An是n个集合，集合A1A2An的一个子集F称为A1,A2,,An上的一个n元关系。特别地，集合AB中的一个子集R，称为集合A与B上的一个二元关系(binaryrelation)，简称为关系。对于xA，yB，R是A与B上的一个二元关系，若(x

2、,y)R，则称x，y有关系R，记为xRy；若(x,y)R，则称x，y没有关系R，记为xRy。若B=A，则R称为A上的二元关系。关系的特点1.AA的任一子集都是A上的一个关系；2.若A=n，则A上的关系有个。3.A上有三个特殊关系，即空关系；全域关系EA=AA；相等关系IA={(x,x)xA}。4.5.有序对(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c，b=d。例设A={1,2,3,4}，AA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3

3、,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}则R1={(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)}R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R3={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}R4={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}均是A上的关系。例人群中的父子关系R={(x,y)

4、x,y是人且x是y的父亲}例设A={a,b,c,d,e,f}为学生集合，

5、B={,,,}为选修课程集合，C={2,3,4,5}为学习成绩集合，学生与课程之间存在着一种关系即“选修关系”；学生、课程和成绩之间也存在着一种叫做“学习成绩关系”。设用R表示选修关系，S表示学习成绩关系，那么R为A与B上的二元关系，S为A，B和C上的三元关系。R={(a,),(a,),(b,),(b,),(c,),(c,),(e,),(f,)}表示：学生a选修课程，；学生b选修课程，；学生c选修课程，；学生e选修课程；学生f选修课程；学生d没有选修任何课程。S={(a

6、,,5),(a,,5),(b,,3),(c,,4),(f,,2)}表示：学生a所选的两门课程成绩都是5分；学生b所选课程的成绩是3分；学生c所选课程的成绩是4分；学生f所选课程的成绩是2分。例N上的小于关系R：R={(x,y)

7、x

8、3),(2,1),(2,2)}2、关系矩阵--便于存储有限集上的二元关系可以使用0-1矩阵表示。给定两个有限集合A={a1,…,am}，B={b1,…,bn},R为A到B的一个二元关系,则可以用下列关系矩阵MR=[rij]mn来表示R:r11r12…r1nMR=r21r22…r2n：：：rm1rm2…rmn其中若(ai,bj)R，则rij=1;否则rij=0。Note：关系的矩阵表示与矩阵的行列对应的集合A和B上的元素顺序相关,不同排序会得到不同的关系矩阵.例设A={1,2},B={a,b}，A与B上的关

9、系R={(1,a),(2,b)}，则R的关系矩阵为：例A={1,2,3,4},A上二元关系R={(1,1),(1,2),(1,3),(3,2),(3,4)}1110MR=0000010100003、关系图(RelationDigraphs)--直观、清晰给定两个有限集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},R为A到B的一个二元关系.首先在平面上作m个结点代表a1,a2,…,am,然后作另外n结点代表b1,b2,…,bn.如果aiRbj,则画一条从ai到bj的有向弧,这样的图称为R的关系图

10、.关系(有向)图常用来表示A×A的子集，即A上的关系。设集合A，A中的每个元素对应图中的一个点，A上关系R中的每个有序对(a,b)在图中表示为有从a到b的一条有向弧。例如：设A={1,2,3}，R={(1,1),(1,2)}，则R的关系图为：123关系是集合，因此处理集合的方法对关系都是有效的。因而有子关系，有关系的并、交、差、余(补)等运算。子关系设R，S是集合A上的两个关系，若RS，则称R为S