1.2-关系(简)

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1、第二节关系(relations)的基本概念及其性质1.2.2等价关系1.2.3部分序关系1.2.1关系的基本概念及其性质定义1.2.1设A1,A2,,An是n个集合，集合A1A2An的一个子集F称为A1,A2,,An上的一个n元关系。特别地，集合AB中的一个子集R，称为集合A与B上的一个二元关系(binaryrelation)，简称为关系。对于xA，yB，若(x,y)R则称x，y有关系R，记为xRy；若(x,y)R，则称x，y没有关系R，记为xRy。若B=A，则R称为A上的二元关系。关系的特点AA上的任一子集都是A上的一个关系

2、；若A=n，则A上的关系有个。A上的三个特殊关系，即空关系；全域关系EA=AA；相等关系IA={(x,x)xA}。有序偶(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c，b=d。关系的补充说明为了便于关系定义的理解并且与我们头脑中不够清晰严密的关系相区分，我们首先给出下列问题描述。例假设目前中国乒乓球对男子队员集合是A={马琳，王励勤，马龙，王皓，郝帅，陈杞，闫森}，女队员集合B={张怡宁，郭跃，郭炎，李晓霞，丁宁，牛剑锋，刘诗雯}。现在要出征乒乓球世界杯赛，如果按照上面关系的定义，对男子双打，女子双打和混合双打分别可以构造出249个关系，但实

3、际上这里的很多关系是没有实际意义的。假设教练组根据个人状态和实际情况确定双打和混双组合如下：男子双打关系R1={(马琳,陈杞)，(王励勤,马龙)，(王皓，郝帅)，(陈杞,马琳)，(马龙,王励勤)，(郝帅，王皓)}；女子双打关系R2={(张怡宁,丁宁)，(郭跃,李晓霞)，(郭炎,牛剑锋)，（丁宁,张怡宁)，(李晓霞,郭跃)，(牛剑锋,郭炎)}；男女混双关系R3={(马龙,张怡宁)，(王皓,郭跃)，(郝帅,刘诗雯)，(张怡宁,马龙)，(郭跃,王皓)，(刘诗雯,郝帅)}。从上述三个关系我们可以清晰地看出那些队员之间构成所需确切关系，并且把人们头脑中模糊的对

4、称关系也显示地表达出来，而不是人们头脑中仅需要前三个二元有序对的关系能够确切表达的,这也是人与计算机理解问题的差异。这也是我们书中的关系与我们日常所说关系的区别。实际上关系还可以用坐标系来描述，例如二元关系可以用平面上的离散点坐标系来描述，两个坐标上的离散点集对应我们讨论的两个集合，这两个集合可以不同也可以相同，不如用坐标描述男子双打组合关系时这两个集合相同，而男女混双时不同，对于三元及以上关系可以用三维及以上坐标系表示。坐标系中不同点的组合就构成了不同的关系。关系的补充说明例设A={a,b,c,d,e,f}为学生集合，B={,,,}为选修课

5、程集合，C={2,3,4,5}为学习成绩集合，学生与课程之间存在着一种关系即“选修关系”；学生、课程和成绩之间也存在着一种叫做“学习成绩关系”。设用R表示选修关系，S表示学习成绩关系，那么R为A与B上的二元关系，S为A，B和C上的三元关系。R={(a,),(a,),(b,),(b,),(c,),(c,),(e,),(f,)}表示学生a选修课程，；学生b选修课程，；学生c选修课程，；学生e选修课程；学生f选修课程；而学生d没有选修任何课程。S={(a,,5),(a,,5),(b,,3),(c,,4),(f,,2

6、)}表示学生a所选的两门课程成绩都是5分；学生b所选课程的成绩是3分；学生c所选课程的成绩是4分；学生f所选课程的成绩是2分。关系是集合，因此集合的方法对关系都是有效的。因而有子关系，关系的并、交、差、余等运算。例：R，S是集合A上的两个关系，若RS，则称R为S的子关系；对任意x，yA，有x(R∪S)y当且仅当xRy或者xSyx(R∩S)y当且仅当xRy并且xSyx(R-S)y当且仅当xRy并且xSyxy当且仅当xRy定义1.2.2逆关系(inverserelation)设R是集合A上的一个关系。令R-1={(y,x)xA,yA,并

7、且有xRy，则称关系R-1为关系R的逆。例如，小于关系的逆关系是大于关系，大于关系的逆关系是小于关系，相等关系的逆关系仍是相等关系。例：R={(a,b),(b,c),(a,c),(b,d)},则R-1={(b,a),(c,b),(c,a),(d,b)}定义1.2.3自反关系(reflexive)集合A上的关系R称为是自反的(反身的)，如果对每一个xA，都有xRx。例：A={a,b,c},A上的关系R1={(a,b),(b,b),(b,c)}R2={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)}R是自反的当且仅当IAR，R是自反的当且

8、仅当R-1是自反的。定义1.2.4反自反关系(irreflexive)集合A上的关系R称为反自反的，如果对任