离散系统的z域分析

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1、第六章离散系统的z域分析离散时间信号与系统也可以采用变换域的方法进行分析离散时间信号与系统的变换域分析方法主要有傅里叶变换和z变换两种(离散时间信号不能进行拉普拉斯变换）离散时间信号的傅里叶变换问题将在数字信号处理课程中介绍，本章讨论离散时间系统的z变换分析§6.1z变换z变换的导出z变换的定义z变换的收敛域常用离散信号的z变换一.z变换的导出抽样信号的拉普拉斯变换→离散信号的z变换对取拉氏变换二.z变换的定义对z变换式的直观理解三.z变换的收敛域收敛的所有z值之集合为收敛域（ROC）。对于任意给定的序列f(k)，能使幂级数注意：不同的f(k)

2、可能具有相同的z变换表达式，只是其收敛域不同。因此给出一个z变换时，必须同时指明收敛域，该z变换才与某个时域序列唯一对应。收敛域有限长序列的收敛域所以，收敛域为的z平面。例6-1-1ROC：因果序列的收敛域例6-1-2若该序列收敛，则要求即收敛域为：ROC:反因果序列的收敛域例6-1-3收敛域为：=2k说明双边序列的收敛域例6-1-4ROC:总结f(k)的收敛域（ROC）为z平面以原点为圆心的圆环区域有限长序列的ROC为整个z平面（可能除去z=0和z=）右边序列的ROC为的圆外左边序列的ROC为的圆内双边序列的ROC为的圆环（若z变换存在）四

3、.常用离散信号的z变换单位样本序列单位阶跃序列右边（因果）指数序列左边（反因果）指数序列§6.2z变换的性质线性移位特性z域尺度变换时域卷积定理z域微分z域积分k域反转部分和初值定理和终值定理一．线性ROC：一般情况下，取二者的重叠部分如果线性组合是两个序列相减，则收敛域可能扩大例6-2-1解：已知并且同理可得例6-2-2收敛域扩大为整个z平面。原序列不变，只改变在时间轴上的位置。双边z变换的位移性质二．移位（时移）特性说明单边z变换的位移性质若f(k)为双边序列，其单边z变换为左移位性质右移位性质与右移位序列的双边z变换形式相同例6-2-3解

4、:方程两边取z变换带入边界条件整理为三．z域尺度变换证明：同理例6-2-4，教材例6.2-6解：同理：四．时域卷积定理ROC：至少为二者的重叠部分，即描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。注意：如果在某些线性组合中产生零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大（根据卷积结果分析ROC）证明时域卷积定理例6-2-5解：五．序列乘k（z域微分）共求导m次例6-2-6解：六．序列除k+m（z域积分）证明：七.k域反转证明：例6-2-7，教材例6.2-11八.部分和证明：例如：九．初值定理和终值定理（适用于右边序列）初值定理证明初

5、值定理例6-2-8解：另外，用长除法也可以求因果序列的初始值，即终值定理无无有，1有，0例题1，-1，1，-1，1§6.3逆z变换幂级数展开法部分分式展开法围线积分法——留数法（自学）一．幂级数展开法（长除法）对于有理函数形式的z变换式：直接用长除法展开为幂级数形式幂级数展开法右边（因果）序列的逆z变换左边（反因果）序列的逆z变换例6-3-1例6-3-2双边序列的逆z变换故通常只需分别考察右边（因果）和左边（反因果）序列的逆z变换二．部分分式展开法z变换式的一般形式部分分式法求逆z变换的步骤便于部分分式展开以及求部分分式的逆变换F(z)的极点为

6、互不相等的实数这里指ROC是在极点圆外还是极点圆内例6-3-3同理：K2＝2右　　右右　　左左　　左F(z)有共轭单极点F(z)有r重极点例6-3-4三．围线积分法求z逆变换(略）§6.4离散LTI系统的z域分析用z变换求解差分方程系统函数系统的z域框图s域与z域的关系一．用z变换求解差分方程用z变换求解差分方程的一般步骤(1)对差分方程进行单边z变换；(2)由z变换方程求出响应Y(z)；(3)求Y(z)的逆变换，得到y(k)（右边序列）。离散LTI系统差分方程的单边z变换z域的零输入和零状态响应离散LTI系统的时域全响应例6-4-1解：方程两

7、端取z变换零输入响应零状态响应或小结二．系统函数教材例6.4-8三．系统的z域框图某LTI系统的k域框图如图(a)所示，已知输入。（1）求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yf(k)。（2）若y(-1)=0，y(-2)=1/2，求零输入响应。教材例6.4-7四．s域与z域的关系s平面z平面极点位置h(t)特点极点位置h(k)特点虚轴上等幅单位圆上等幅原点左半平面衰减单位圆内减幅右半平面增幅单位圆外增幅