线性代数向量空间

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1、第四节向量空间一向量空间二向量空间的基与维数三基变换与坐标变换1、定义一、向量空间设Ｖ为n维非空向量组，且满足对线性运算封闭①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.例如，Ｖ={0}和Ｖ=Rn均为向量空间2、定义设U、Ｖ为两向量空间，若，则称U是Ｖ的子空间。例如，设Ｖ是一向量空间，则由的所有线性组合所组成的集合是Ｖ的子空间二、向量空间的基与维数定义②均可由　　　　　线性表示.若满足：设Ｖ是一个向量空间，它的某r个向量记作：r=dimＶ，①线性无关；则称　　　　　为Ｖ的一个基.r称为Ｖ的维数.Ｖ是一个r维向量空间规定零空间的

2、维数为0注：①向量空间的基是其作为向量集合的极大线性无关组③向量空间的维数等于其基向量组的秩②向量空间的基不唯一的坐标向量，简称坐标定理：若向量空间V的维数为r,则V中任r个线性无关的向量都是V的一组基向量空间的坐标设为向量空间Ｖ的一组基，则任给可唯一的由表示为向量称为关于基设例1①证明：为向量空间R3的一组基②求在基下的坐标提示1：令则

3、A

4、≠0，故线性无关提示2：注：在基本向量组下的坐标为一个向量在一组基下的坐标是唯一确定的一个向量在不同基下的坐标是不同的问题:三、基变换与坐标变换1、设Ｖ为n维非空向量组，对于Ｖ中两组不同基之

5、间有什么关系？2、Ｖ中的一个向量在两组不同基下有什么关系？过渡矩阵建立了不同基之间的关系，具有如下性质：1、定义设是向量空间Ｖ两组不同的基，若有矩阵Cr×r，使得则称矩阵C为从基到基的过渡矩阵（基变换矩阵）①C的第i列是关于基的坐标②C为可逆矩阵(?)，且C的逆矩阵是到基的过渡矩阵则对任意向量，且在上述两组不同基下的坐标分别为X和Y，即由坐标的唯一性：即为坐标变换公式。注意：坐标变换公式与基变换公式表述形式的区别例：设是4维向量空间Ｖ4的一组基，且①证明：是Ｖ4的一组基，并求的过度矩阵②求在下的坐标解：①由题可得两向量组之间有如下

6、关系线性无关，即为Ｖ4的一组基因过渡矩阵C可逆，故②由，利用坐标变换公式得