线性代数课件-4.1向量空间.ppt

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1、n维向量第四章向量空间、矩阵的特征值与特征向量所有分量为实数的n维向量构成的集合称为一个n维向量空间§4·1向量空间n维向量组线性无关，且任意n+1个n维向量线性相关n定义4.3在Rn中，n个线性无关的向量1，2，…n称为Rn的一组基。例如：n维单位向量组1，2，…n是Rn的一组基。该基称为Rn自然基或标准基。也是Rn的一组基。再如：因为即线性无关所以也是Rn的一组基。二、基与坐标Rn的一个极大无关组补充：1，2，…m是Rn的一组基1、i∈Rn2、m=n3、1，2，…m线性无关

2、例如：对n维向量空间若1，2，…n是Rn的一组基，则1，2，…n线性无关，且Rn中任意n+1个向量线性相关,有，1，2，…n线性相关由P107定理3·3，即对任意∈Rn，存在唯一一组x1,x2,…,xn使=x11+x22+…+xnn即对任意∈Rn可由1，2，…n线性表示，且表法唯一。【例1】对于上述两组基和求向量分别在两组基下的坐标解：因为所以在基下的坐标为行向量定义4.4设1，2，…n是Rn的一组基，则R中的任一向量都可唯一表示为=x11+x22+…

3、+xnn称系数x1,x2,…,xn为向量在基1，2，…n下的坐标，记作（x1,x2,…,xn）设在基下的坐标为（x1,x2,…,xn）由此得线性方程组:所以在基下的坐标为：即有【例（补）】已知R3的一组基求向量在基下的坐标解：设在基下的坐标为（x1,x2,x3）即有做矩阵所以在基下的坐标为（2，3，-1）求向量在基下的坐标：设在基下的坐标为（x1,x2,…,xn）即有做矩阵行变换则向量在基下的坐标：三、过度矩阵设向量组与为Rn的两组基，则向量可由线性表示（*）B=AQ（*）（*）旧

4、基新基旧基到新基的过度矩阵=QQ=取矩阵称矩阵Q为旧基到新基的过度矩阵定义4·5设向量组与为Rn的两组基，向量可由线性表示′对基和及关系式取（*）或B=AQ（*）的矩阵形式：即P159证明：取则有B=AQ由于线性无关，A可逆B可逆线性无关，所以Q=A-1B可逆P159定理4.1由旧基到新基的过度矩阵Q可逆。求旧基到新基的过度矩阵的方法(P160):取则过度矩阵Q=A-1B由行变换例2已知R3的一组基求自然基到的过度矩阵Q。解令则所求的过渡矩阵例3已知R4的两组基为：求基到的过度矩阵Q。解令则所求过度矩阵

5、为Q=A-1B故P161定理4·2设与为Rn的两组基，由到的过度矩阵为Q，对于向量，在基和基下的坐标分别为和由基坐标的唯一性，得证明：且由过度矩阵是可逆的，得【例4】设R3的两组基为：和（1）求到的过度矩阵Q（2）若在基下的坐标为求在基下的坐标。解：（1）取矩阵★P163321,,aaa321,,aaa得故在下的坐标为则所求过度矩阵为设在新基下的坐标为P163（2）已知在旧基下的坐标为321,,aaa【例4】设R3的两组基为：和（1）求到的过度矩阵Q（2）若在基下的坐标为求在基下的坐标。由得所以在基下的

6、坐标为（-5，-7，4）321,,aaa解：因为在基下的坐标为321,,aaa所以有3212aaax++-=321,,aaa三、子空间及维数不要小结一、概念1、基：Rn中n个线性无关的向量1，2，…n称为Rn的一组基2、坐标：设1，2，…n是Rn的一组基，则Rn中的任一向量都可唯一表示为=x11+x22+…+xnn。则称系数x1,x2,…,xn为向量在基1，2，…n下的坐标，记作（x1,x2,…,xn）称Q为旧基到新基的过度矩阵3、过度矩阵：设向量组与为Rn的两组基，则与存在

7、关系式：二、主要结论1、实数域R上的n维向量空间2、旧基到新基的过度矩阵Q可逆。定理4·2设与为Rn的两组基，由到的过度矩阵为Q，对于向量，在基和基下的坐标分别为和三、计算题型：1、判断1，2，…m是否为Rn的一组基步骤：（1）i∈Rn，（2）m=n（3）1，2，…m线性无关2、求向量在基下的坐标：设在基下的坐标为（x1,x2,…,xn）即有行变换则向量在基下的坐标：3、求旧基到新基的过度矩阵取则过度矩阵Q=A-1B由行变换方法：4、已知向量在基下的坐标为求在基下的坐标方法一：步骤一

8、：求出的分量：步骤二：行变换4、已知向量在基下的坐标为求在基下的坐标步骤一：设在基下的坐标步骤二：求旧基到新基的过度矩阵Q步骤三：步骤四：方法二：行变换