线性代数 向量空间.ppt

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1、n维向量空间向量组的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组非齐次线性方程组第四章向量空间n维向量的概念与运算n维向量空间向量组的线性组合与线性表示第一节n维向量空间一、n维向量的概念与运算定义4.1例如n维行向量第1个分量第n个分量第2个分量向　　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：　可随意平行移动的有向线段代数形象：　向量的坐　标　表　示　式坐标系时，维向量没有直观的几何形象．确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向

2、量维向量的实际意义定义4.2定义4.3定义4.4定义4.5向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则进行运算注意运算规律有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式其中特别地实数域上的n维向量全体，当定义了二、n维向量空间定义4.6定义4.7上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为为实数域上的n维向量空间。记作空　　间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：　向量空间　中　的　平　面几何形象：　空间直线、曲线、空间平面或曲面一　一　对　应三、向量组的线性组合与线性表示

3、定义4.8由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。设是n维向量组，是一组实数，的线性组合。例如向量就是这3个向量的一个线性组合。存在一组实数则称向量b是向量组使得也称向量b可由向量组线性表示。都是n维向量,如果对向量b的线性组合，例如对向量有及还有而且表示的方法不惟一向量n维向量向量空间小结n维向量的运算n维向量的概念、表示解析几何与线性代数中向量的联系与区别向量空间的概念向量在生产实践与科学研究中的广泛应用思考题设问是不是子空间？为什么？如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．答36维的．若一个本科学

4、生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．第二节向量组的线性相关性向量、向量组与矩阵向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理一、向量、向量组与矩阵向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．如果对给定向量组A：存在不全为零的实数定义4.9否则称之为线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关使得则称向量组线性相关；线性无关。即当且仅当注意(1

5、)任何含有零向量的向量组都线性相关.（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量共线。（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。由于即例4.8试判断下列向量组的线性相关性解若存在数使即因为其系数行列式D=于是方程组只有零解，线性无关。所以例4.9试判断下列向量组的线性相关性解考察按分量写出来，即为（其中a，b，c，d各不相同）该方程组的系数行列式由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而线性无关。解若存在数即例4.10试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式D

6、=于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立线性相关。所以令显然是它的一个解，计算可知因此线性相关。由（a）代入（b）（c）整理得另解证明设有线性无关。例4.11试证n维单位坐标向量组…即解之得所以线性无关。定理4.1n维向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证明必要性若即存在不全为零的数使得三、向量组线性相关的判定定理线性相关，不妨设于是即可由其余的向量线性表示充分性若有一个向量可由其余的向量线性表示即那么由系数不全为零，知向量组线性相关。定理4.2n维向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组AX=0有非零解其中证

7、明按线性相关的定义，向量组等价于方程的线性相关有非零解。若令则上式写成因为(1)与(2)同解，也就是说，向量组的线性相关等价于其次方程组AX=0有非零解。条件是推论n个n维向量线性相关的充要定理4.3中任意n+1个向量必定线性相关证明若线性相关，则线性相关，线性无关，则由于方程组的系数行列式不为零，所以方程组有唯一解，即可由线性表示，从而知线性相关推论m个n维向量（m>n）必线性相关。定理4.4设n维向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。证明由零的数线性相关知，存在不全为使得若则不全为零，而有这与线性无关相矛盾，从而于是即可由

8、线性表示。假若可有两种不同的表示方法，设两式相减，得唯一性线性无关相矛盾，不全为零，则与如果系数从而必全为零线性表示的方法是唯一的。定理