标准差变异系数公式

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1、第三章平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数(mean)、标准差(standarddeviation)与变异系数(variationcoefficient)三个常用统计量，前者用丁反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。第一节平均数平均数是统计学中最常川的统计量，川来表明资料屮各观测值相对集屮较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用來描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数(arithmeticmean)、中位数

2、(median)、众数(mode)、几何平均数(geometricmean)及调和平均数(harmonicmean),现分別介绍如下。一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数,记为x。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(-)直接法主要用于样本含量nW30以卜、未经分组资料平均数的计算。设某一资料包含“个观测值:乃、…、兀”，则样本平均数丘可通过下式计算：(3-1)X

3、+兀2+・・・+心其中，工为总和符号；工"表示从第一个观测值Q累加到第个观测值畑当工"/=1/=1在意义上已明确时，可简

4、写为工X,(3-1)式即可改写为：(二)加权法对于样本含量〃三30以上口已分组的资料，可以在次数分布农的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为:(3-2)〒二£兀1+/2勺+…+/內工扶/1+/2+…+拆yy-Di=式中：石一第i组的组中值；•一第i组的次数：k—分组数第i组的次数卡是权衡第i组组屮值七在资料屮所占比重人小的数量，因此.力称为是£的“权”，加权法也山此而得名。【例3.2]将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：檢）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。表3—1100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表S组中值（x）次数（QAo—m1234

5、56751136264550O913024835013203520合计1004520利用（3-2）式得:=45.2伙g)即这100头长口母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2焙。计算若干个來自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。【例3.3]某牛群有黑门花奶牛1500头，其平均体重为750檢，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725蚣，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体車，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即750x15

6、00+725x12002700=738.89伙g)即两个牛群混合后平均体重为738.89^0第二节标准差一、标准差的意义用平均数作为样木的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全而的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。全距（极差）是表示资料中各观测值变界稈度大小最简便的统计暈。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表

7、达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而乂要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。(3—9)为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（X-丘），称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但凶为离均差有正、有负，离均差之和为零，即工（X-J）=0,因而不能用离均差之和工（x-J）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n求得平均绝对离差，即SIx-il/

8、Ho虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被釆用。我们还可以釆用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即（x-x）2,再求离均差平方和，即s（X-X）2,简称平方和，记为SS；由于离差平方利常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即工（X-壬）2",求岀离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数吋，分母不用样木含量而用自由度介1,于是，我们采用统计量艺匕-

9、可2儿_［表示资料的变异程度。统计量S（X-J）2/