不定积分的性质与基本积分公式

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1、§1不定积分概念与基本积分公式不定积分是求导运算的逆运算.一、原函数二、不定积分三、不定积分的几何意义四、基本积分表前页前页后页后页返回返回一、原函数微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x),使F′()xfx=().例如已知速度函数vt(),求路程函数st().即求s(),ts使′()tv=().t又如已知曲线在每一点处的切线斜率,(kx),求fx(),使yfx=()的图象正是该曲线即使得,f′()().xkx=前页前页后页后页返回返回定义1设函数fF与在区间上都有定义,若IF′()xfx=()，x∈I,则称fF为在区间I上的一个原函数.例

2、1(i)路程函数st()是速度函数vt()的一个原函数:s′(t)=v(t).3x2(ii)是x的一个原函数:33′⎛⎞x2⎜⎟=x.⎝⎠3前页前页后页后页返回返回21(iii)ln(xx++1)是的一个原函数:21+x2′1(ln(xx++1))=.21+x122(iv)(xx1−+arcsinx)是1−x的一个原函数:2′⎡⎤122⎢⎥2(x1−+xxxarcsin)=−1.⎣⎦从(iii)(iv)可以看出,尽管象12和1−x21+x前页前页后页后页返回返回这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是一件容易的事.研究原函数有两个重要的问题:1.满

3、足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在原函数,它是否惟一?2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出来?前页前页后页后页返回返回第一个问题由以下定理回答.定理8.1(原函数存在性定理)若函数fI在区间上连续则,f在I上存在原函数F,即F′()xfx=().在第九章中将证明此定理.前页前页后页后页返回返回定理8.2(原函数族的结构性定理)设Fx()是fx()在区间上的一个原函数则I,(i)F()xC+也是fxI()在上的原函数其中,C为任意常数.(ii)f(x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.前页前页后页后页返回返回证(i)由知(()

4、FxCFxfx+)′==′()(),FxC()+也是fx()在I上的原函数.(ii)设F(x)和G(x)是f(x)在I上的任意两个原函数,则(F(x)−G(x))′=F′(x)−G′(x)=fxfx()−=()0.由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知F()()xGxC−≡.前页前页后页后页返回返回二、不定积分定义2函数f在区间If上的全体原函数称为在I上的不定积分,记作∫fxx()d,其中称xf为积分变量,()x为被积函数,fxx()d为积分表达式,为积分号∫.若Fx()是fx()的一个原函数则由定理,8.2,∫fxx()d=+∈{FxCC()R.}前

5、页前页后页后页返回返回为方便起见,我们记∫fxxFxC()d=+().其中C为任意常数.由此,从例1(ii)(iii)(iv)可得:231∫xd,xxC=+3dx2∫=ln(x+++1xC),21+x221∫1−=−xdxxx(1+arcsinxC)+.2前页前页后页后页返回返回三、不定积分的几何意义若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图像是f(x)的一条积分曲线.y所有的积分曲线都是y=FxC()+由其中一条积分曲线y=Fx()i(,)xy沿纵轴方向平移而得00Ox到的.前页前页后页后页返回返回满足条件F()xy00=的原函数正是在积

6、分曲线中通过点(x,y)的那一条积分曲线.00例如,质点以匀速v运动时,其路程函数0s()tvtv=d=+tC.∫00若t时刻质点在s处,且速度为v,则有000s()tvtts=(−+).000前页前页后页后页返回返回四、基本积分表由基本求导公式可得以下基本积分公式:1.0d∫x=C.2.1d∫∫x=dxxC=+.α+1αx3.∫xxd=+≠C(α−>1,x0).α+114.∫xdx=ln

7、xC

8、+.xx5.ed∫xC=e+.xxa6.∫axd=+C.lna前页前页后页后页返回返回7.cosd∫xxx=sin+C.8.sind∫xxx=−+cosC.2

9、9.secd∫xx=tanxC+.210.csc∫xxd=−+cotxC.11.sec∫x⋅tandxx=+secxC.12.csc∫x⋅cotdxx=−cscxC+.dx13.∫=arcsinx+=−Cxarccos+C.21−xdx14.=arctanx+=−Cxarccot+C.∫21+x前页前页后页后页返回返回由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算法则.定理8.3(不定积分的线性运算法则)若函数fg与在区间I上都存在原函数,k,k为12任意常数,则kfkg+在上也存在原函数且I,12(()()kfxkgx+=+)dxkfxxkgxx()d(

10、)d.∫121∫∫2nn−1例1p(x)=a0x+a1x+"+an−1x+an,则aa01nn