2020版高考数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积分层演练理（含解析）新人教A版

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1、第2讲空间几何体的表面积与体积1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2．(2019·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个

2、全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为(　　)A．6π　　　　　　　　　　B．8πC．10πD．12π解析：选C.根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r为2，母线长l为3，故该圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝π×2×(2＋3)＝10π，故选C.3．(2019·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为(　　)A．1.2B．1.

3、6C．1.8D．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x、3、1的长方体，所以组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故选B.4．(2019·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2π解析：选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的

4、表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.5．(2019·河南郑州一中押题卷二)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则＝(　　)A.　　　　　B.C.D．随点M位置的变化而变化解析：选B.由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.因为M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，所以点M到平面DFEC的

5、距离等于点B到平面DFEC的距离，为a，所以V1＝VEFMC＝VMEFC＝×a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝，故选B.6．(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以＝＝.答案：7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、

6、宽、高分别为4，3，1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π.故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.答案：388．(2019·山东日照模拟)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．解析：设球的半径为R，正方体的棱长为a.由题意得当正方体体积最大时，a2＋＝R2，所以R＝a，所以所得工件体积与原料体积之比的最大值为＝＝.答案：9.

7、如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.10．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P到Q点的最

8、短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝＝＝a，所以从P点到