复变 第七讲 级数

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1、1.复数列的极限2.级数的概念第四章级数§4.1复数项级数1.复数列的极限设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使

2、an-a

3、N时成立,则a称为复数列{an}当n时的极限,记作结论定理1注：复数列的收敛问题可归之为两个实数列的收敛问题。2.级数的概念设复数列：部分和定义---无穷级数定理二注：复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。例1解注：定义：绝对收敛、条件收敛定理三1.幂级数的概念2.收敛圆与收敛半径3.收敛半径的求法4.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义--

4、-称为复变函数项级数设复变函数列：部分和和函数在级数（1）中，取称为幂级数例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]部分和为定理一(阿贝尔Abel定理）z0xyO2.收敛圆与收敛半径幂级数的收敛范围：(i)级数(3)在复平面上处处绝对收敛。(ii)级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。(iii)级数(3)在复平面上原点为心，某正实数为半径的圆内绝对收敛，在圆外处处发散。定义该圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。注：(i)幂级数在收敛圆周上可能有收敛点，也可能有发散点；(ii)幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域

5、.3.收敛半径的求法定理三(根值法)定理二(比值法)4.幂级数的运算和性质（1）有理运算（2）代换(复合)运算解例3例4解（3）分析运算定理4作业P1426（3)（4）1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数1.泰勒(Taylor)展开定理思考：一个解析函数能否用幂级数表达?定理（泰勒展开定理）注：2.展开式的唯一性思考：利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？3.简单函数的泰勒展开式函数展开成Taylor级数的方法：（1）代公式---直接法例1解（2）根据展开式的唯一性，利用已

6、知函数的展开式，运用幂级数的有理运算、代换运算和分析运算来展开。---间接法例2解例2把下列函数展开成z的幂级数:(2)注：因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.解：一些常用函数的泰勒展开式：练习：求下列函数在处展成幂级数定理作业P14311（1）（2）（3）（4）12（2）（3）（4）提示：12（2）先分解为部分分式（3）