2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题09 计数原理

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1、1、（2001一试5）若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（　　）．　Ａ．3333　　Ｂ．3666　　Ｃ．3999　　Ｄ．32001[来源:学科网]2、（2004一试5）设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个3、（2000一试12）设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，)=________.【答案】18【解析】由二项式定理知，，因此==18.5联系地

2、址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-893138984、（2000一试12）如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.5、（2001一试12）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．6、（2002一试8）将二项式的展开式按x的

3、降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有个。【答案】3【解析】不难求出前三项的系数分别是，　∵∴当n=8时，(r=0,1,2,…，8)∴r=0,4,8,即有3个7、（2002一试9）如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或5联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1

4、字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）。9、（2007二试2）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。【解析】最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下：如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j)。第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五

5、子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、

6、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。5联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898[来源:Zxxk.Com]图1图2第二步构造一种取法，共取走11个

7、棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。[来源:学*科*网]10、（2008一试9）将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　　　种．[来源:Zxxk.Com]11、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）【答案】15000【解析】由题设条件可