11-8 其它展开

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1、第八节傅里叶级数(续)一、正弦级数与余弦级数二、以2l为周期的函数的傅里叶展开一、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例1.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5例2.

2、将周期函数展成傅里叶级数.解:是周期为2的周期偶函数,因此2.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在(0,)上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在(0,)上展成例3.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明:令x=0可得即二、以2l为周期的函数的傅里叶级数展开周期为2l函数f(x)周期为

3、2函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.证明:令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,其中令(在f(x)的连续点处)证毕说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有解展成正弦或余弦级数奇或

4、偶式周期延拓成F(z)在上的正弦或余弦级数将展开式限制到[0,l]上当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?(2)将作偶周期延拓,则有三、小结2、以2L为周期的傅氏系数;1、正余弦级数;3、求傅氏展开式的步骤;（1）画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);（2）求出傅氏系数;（3）写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于4、非周期函数的展开（1）非周期函数的周期性延拓--奇偶延拓;（2）正

5、弦级数与余弦级数;5、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;作业:P2561(1),(3);2(2);