高考数学第五章平面向量3第3讲平面向量的数量积及应用举例练习理（含解析）

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，

2、

3、＝1，则·＝(　　)A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以

4、

5、＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足

6、a

7、＝2

8、b

9、，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以

10、a

11、·

12、b

13、c

14、osα＝

15、b

16、2，又

17、a

18、＝2

19、b

20、，所以cosα＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　)A．10B．11C．12D．13解析：选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以·＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，

21、AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　)A．－B.C．－D.解析：选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)．又＝2，所以Q，所以＝，＝，所以·＝＋1＝.故选D.5．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)A．13B．7C．5D．3解析：选C.连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－

22、·＋·－

23、

24、2＝－·＋·－

25、

26、2＝·－

27、

28、2＝1×6－1＝5.6．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2＝2a·b，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案：7．已知点M，N满足

29、

30、＝

31、

32、＝3，且

33、＋

34、＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得

35、＋

36、2＝

37、

38、2＋

39、

40、

41、2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为

42、

43、＝

44、－

45、＝＝＝4.答案：48．(2019·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°，

46、

47、＝2，

48、

49、＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(

50、μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：9．已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α；(2)若

51、m－n

52、＝，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.(2)若

53、m－n

54、＝，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝，即

55、有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．所以

56、＋

57、＝2，

58、－

59、＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．由(－t)·＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－

60、11，所以t＝－.法二：·＝t2，＝(3，5)，t＝＝－.[综合题组练]1．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·＝(　　)A．－18B．－6C．18D．6解析：选C.法一：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝2＝18，故选C.法二：如图，以C为