2019_2020学年高中数学第2章推理与证明章末复习课学案新人教A版

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1、第2章推理与证明合情推理【例1】　(1)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，……，据此规律，第n个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是________．(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　(2)＝　[(1)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.(2)画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为＝.证明如下：由于平面P

2、AD是二面角BPAC的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以＝.　①又因为＝＝.②由①②知＝成立．]1．归纳推理的特点及一般步骤　2．类比推理的特点及一般步骤1．(1)观察如图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律，推出Sn与n的关系式为________．(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，________，________，成等比数列．(1)Sn＝4n－4(

3、n≥2，n∈N*)　(2)　　[(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．]综合法与分析法【例2】　若a，b，c是△ABC的三边长，m＞0，求证：＋＞.思路探究：根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明]　要证明＋＞，只需证明＋－＞0即可．∵

4、＋－＝，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴＋＞.1.(改变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：＞.[证明]　要证＞，只需证a＋b＋(a＋

5、b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c，而a＋b>c显然成立，所以＞.2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利

6、用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．反证法【例3】　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2)反证法常用于直接证明

7、困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．2．若x，y，z∈(0,2)，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.[证明]　假设x(2－y)>1，且y(2－z)>1，且z(2－x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1，①由于0

8、－x)不可能都大于1.数学归纳法【例4】　设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列