高中数学第3章不等式3.3.2简单的线性规划问题（第1课时）简单的线性规划问题学案新人教A版

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1、第1课时　简单的线性规划问题学习目标核心素养1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念(重点).2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)．通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养.1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题在

2、线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？[提示]　不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．2．线性目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？[提示]　把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的

3、截距．1．若则z＝x－y的最大值为________．1　[根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]2．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________．0　[当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k

4、＝0.]3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．　　[如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.]求线性目标函数的最值问题【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．(1)3　(2)－5　[(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与

5、直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.法二：易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，

6、依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]解线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；(4)答：给出正确答案．1．(1)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)A．4　　　　　　B．C．6D．(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)A．－2B．－1C．1　D．2(1)B　(2)C　[(1)不等式组表

7、示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．此时∴A，∴zmin＝3×1＋2×＝.(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2，2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m＝2时，可行域如图(