线性代数课件4-3

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1、§3向量组的秩矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b有解当且仅当向量b可由矩阵A的列向量组线性表示课本P.88定理4：向量组A：a1,a2,…,am线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m；向量组A：a1,a2,…,am线性无关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b有解当且仅当向量b能否由向量组A线性表示向量组与自己的最大无关组等价n元线性方程组Ax=b其中A是n×m矩阵矩阵(A

2、,b)向量组A:a1,a2,…,an及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b能否由向量组A线性表示？无解R(A)

3、么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．结论：矩阵的秩=矩阵中最高阶非零子式的阶数=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作RA．例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对

4、应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式．结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．事实上，根据R(A0)=3可知：A0的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个线性无关的部分组．在矩阵A任取4个列向量，根据R(A)=3可知：A中所有4阶子式都等于零，从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于4，即这4个列向量线性相关．A0的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组．矩阵A的列向量组的秩等于3．同理可证，矩

5、阵A的行向量组的秩也等于3．矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b有解当且仅当向量b能否由向量组A线性表示一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩．矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩．矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）今后，向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)．若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨

6、论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关，从而a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的等价定义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；向量组A中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向

7、量组A0是向量组A的一个最大无关组．矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b有解当且仅当向量b能否由向量组A线性表示向量组与自己的最大无关组等价最大无关组的意义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体．特别，当向量组A为无限向量组，就能用有限向量组来代表．凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．